Théorie des groupes
Topic outline
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Nom: AYADI
Prenom: Souad
Grade: MCA
Spécialité: Mathématiques
E-mail: souad.ayadi@univ-dbkm.dz
Position dans le cours: Chargée de cours et TD
Evaluation du cours: Examen*0.6 + TD*0.4
Réception des étudiant:
Le jour: Dimanche
Heure: 10-11.30
Endroit: salle des enseignants
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Intitulé du Master : Physique théorique
Semestre : 1
Intitulé de l’UE : Méthodologie UEM 1.1
Intitulé du cours : Théorie des groupes
Crédits : 4
Coefficients : 2Connaissances préalables recommandées
Algèbre supérieureObjectifs du cours
Donner les outils de base de la théorie des groupes afin que les étudiants maitrisent les
groupes classiques utilisés en physique. En éffet, La notion de groupe joue un rôle fondamental en mathématiques. C’est l’une des principales structures algébriques, avec celles d’anneau, de corps, modules, et espaces vectoriels. D’une part, elle formalise les propriétés de plusieurs des opérations bien connues entre des objets mathématiques divers comme les : nombres, vecteurs, matrices, fonctions, etc...D’autre part, elle donne un contexte clair pour discuter de transformations de toutes sortes : rotations, translations, symétries, etc. ; ou encore de manipulations d’objets. Elle est essentielle pour comprendre des aspects fondamentaux de la physique (théorie de la relativité, théorie des quantas), de la chimie (calcul des isomères), de la cristallographie (symétries des cristaux), de la cryptographie à clé publique (système RSA, courbes elliptiques), et de l’étude des codes correcteurs d’erreurs. Elle joue aussi un rôle fondamental en théorie de Galois 1 (qui étudie la résolution d’équations polynomiales), en théorie des nombres, en géométrie, et dans la théorie des invariants. Bref, c’est l’une des notions les plus intéressantes parmi celles élaborées par les mathématicien
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Le concept d'un ensemble invariant fait référence à un ensemble de particules ou de systèmes qui possède une propriété ou une caractéristique particulière qui reste constante au fil du temps malgré les évolutions et les interactions entre les particules ou les systèmes individuels. Cette notion est souvent utilisée pour étudier la conservation de certaines quantités physiques fondamentales au sein d'un système ou d'un ensemble de systèmes. En physique, la symétrie est un concept fondamental qui fait référence à une caractéristique d'un système physique qui reste inchangée sous certaines transformations. La notion de symétrie joue un rôle essentiel dans la compréhension des lois de la physique et permet de simplifier les problèmes complexes en identifiant des propriétés invariables.
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La théorie des groupes est un outil mathématique essentiel en physique, notamment en physique quantique et en physique des particules. Elle permet de décrire et de comprendre les symétries fondamentales des lois physiques
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L'idée générale de la théorie des représentations est d'essayé d'étudier un groupe 𝑮 en le faisant agir sur un espace vectoriel de manière linéaire. Autrement dit, une représentation d'un groupe est un moyen de voir un groupe comme un groupe de matrices inversible dans le but de comprendre certaines propriétés du groupe à l'aide des propriétés des matrices associées.
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La théorie des groupes est un domaine de recherche en mathématiques et en physique qui a été initié par des scientifiques tels qu'Évariste Galois, Sophus Lie, John Von Neumann et Paul Dirac. Ces scientifiques ont tous apporté des contributions importantes au développement de cette théorie, notamment en ce qui concerne la symétrie continue, les groupes de transformations et les applications en physique. Leurs travaux ont jeté les bases de la théorie des groupes, qui continue d'être un domaine de recherche dynamique et important aujourd’hui. Les groupes de Lie sont nommés ainsi en l'honneur du mathématicien norvégien Sophus Lie, qui les a introduits afin d'étudier certaines propriétés des équations différentielles telle que La théorie de groupes de Lie qui décrit la symétrie continue en mathématiques.
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Les algèbres de Lie sont classifiées en différentes catégories en fonction de leurs propriétés et de leurs structures. La classification des algèbres de Lie dépend de diverses propriétés, notamment la structure des opérateurs de structure, la présence de sous-algèbres idéaux, la dimension de l'algèbre, la nature des coefficients (réels ou complexes), et l'application spécifique dans différents domaines de mathématiques et de physique
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