Section outline

  • 1    Lagrange formulation of quantum filed theory ....3

    1.1    Recall the formalism of Lagrange .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .3

    1.1.1     Principle of least action   .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  3

    1.1.2     Euler-Lagrange equations     .  .  .  .  .  4

    1.1.3     Lagrangian choice   .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  5

    1.1.4     Hamiltonian formulation   .  .  .  .  .  6

    1.2    Basic principle of quantum field theory  .  .  .  .  .  .  .  .  6

    1.2.1     Free scalar field     .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  7

    1.2.2      Free complex scalar field  .  .  .  .  .  8

    1.2.3     Complex scalar field in the presence of an external electromagnetic field   .  .      8

    1.2.4     Remark .  .  .9

    2    Exercises 10

    3    Symmetries and conservation laws 11

    3.1    Example of transformation    .  .  .  .  .  .  .  .  .  11

    3.1.1     Space-time transformation    .  .  .  .  .  11

    3.1.2     Global phase.  .  .  .    12

    3.1.3     Local phase transformation.  .  .  .    12

    3.2    Noether’s theorem   .  .  .  .  .  .  .    12

    3.2.1     Statement   .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .    12

    3.2.2     Demonstration   .  .  .  .    13

    3.3    Energy-Momentum Tensor of the scalar field   .  .  18

    4    Exercises 20

    5    Dirac equation 21

    5.1    Dirac’s Hamiltonian   .  .  .  .  .  .  .  .  21

    5.2    The characteristics of Dirac matrices  .  .  .  .  .22

    5.3    Standard representation   .  .  .  .  .  .  .  .  25

    5.4    Free Dirac equation    .  .  .  .  .  .  .  .  .  26

    5.5    Physical interpretation of the negatives energies  .    28

    5.6    Current of free Dirac equation    .  .  .  .  .  .  .  .  .    29

    5.6.1     vector current and total charge     .  .  .  .  .  .  .  .    31

    5.7    Dirac equation in the presence of an external electromagnetic field  .  .  .  .  .    31

    5.8    Lagrangian of the complex spinor field   .  .  .  32

    5.9    Lagrangian of the complex spinor field in the presence of an external electromagnetic field.   .  .  .  .  .    33

    6    Exercises 35

    7    Somme References 40