Section outline

  • 1    Preface 3
    2    A review of quantum mechanics 4
    2.1    Introduction  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .     4
    2.2    Wave modeling   .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .       4
    2.3    Schrödinger equation .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .     5
    2.4    Harmonic oscillator    .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 6
    2.5    Pauli equation     .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 6
    3    Exercises 7
    4    A review of special relativity 8
    4.1     Overview of the laws of electromagnetism  .  .  .  .  8
    4.1.1     Maxwell equations  .  .  .  .  .  .  .  .  .  8
    4.1.2     Vector and scalar potentials  .  .  .  .  .  .  .10
    4.2    Vector analysis in Minkowski space   .  .  .  11
    4.2.1     Quadri-divergence and quadri-gradient    .  .  11
    4.2.2     Quad-vector current density   .  .  .  .  .12
    4.2.3     Quad-vector potential   .  .  .  .13
    4.2.4     Electromagnetic     field tensor    .  .  .  .  .13
    4.2.5     Change of variable  .  .  .  .  .  .15
    5    Exercises

    6    Symmetry and invariance 19
    6.1    De    finition    .  .  .  .  .  .19
    6.2    Types of transformations .  .  . 19
    6.2.1     Geometric transformations   .  .  .  .  19
    6.2.2     Internal transformations    .  .  .  . 20
    6.2.3     Internal geometric transformations    .  .  .20
    7    Exercises

    8    Klein-Gordon equation 22
    8.1    Introduction  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 22
    8.2    Quadri-vectors in     field theory.    .  .  .  23
    8.3    Free Klein-Gordon equation  .  .  .  .  .24
    8.4    Invariance of the free Klein-Gordon equation under gauge transformation    .  .  . 26
    8.5    Solutions to the free Klein-Gordon equation   .  . 26
    8.6    Physical interpretation of solutions to the free Klein-Gordon equation  .  .  .  .  . 28
    9    Klein-Gordon equation in the presence of an external electromagnetic     field 30
    9.1    invariance of the Klein-Gordon equation under the presence of an external electromagnetic     field through gauge transformation    .  .  .  .31
    9.2    Klein-Gordon equation current in the presence of an external electromagnetic     field      31
    10  Exercises  33
    11  Somme References 35