Chapitre 2: Codage binaire

Chapitre II CODAGE BINAIRE

I.      Introduction

Le traitement de l’information (Image, mot, nombre,…etc.) est effectué par l’ordinateur ou calculateur électronique. Les circuits électroniques qui les constituent ne peuvent prendre que deux états représentés par 0 et 1. Donc, le langage utilisé dans ces machines est appelé système de numération binaire (suite de 0 et de 1).

II.    Différents systèmes de numération

Il existe quatre systèmes de numération qui sont :

-         Système décimal ;

-         Système binaire ;

-         Système octal ;

-         Système hexadécimal.

Système décimal

C’est un système utilisé dans le monde extérieur, les chiffres utilisés sont des entiers composés par des valeurs de 0 à 9. La base de ce système est 10.

Exemple

1995 : ce nombre s’écrit dans le système à base 10 sous la forme :

1* 10³ + 9 * 10² + 9 * 10¹ + 5 * 10°

Système binaire

C’est le système qui est utilisé par la machine (l’ordinateur), il est composé seulement par des suites binaires (1 et 0). La base de ce système est 2.

Exemple

1001101 : la valeur décimale de cette suite est :

1* 2 ⁶ + 0 * 2⁵ + 0 * 2⁴ + 1* 2³ + 1* 2² + 0 * 2' +1*2° =77

Chaque chiffre binaire (0 ou 1) est appelé bit qu’on note  par b, et toutes combinaisons binaires composées de huit bits est appelée Octet.

Example: 11100100

B₀ = 0, b₁= 0, b₂=l, b₃= 0, b₄=0, b₅= 1, b₆=l ,b₇= 1

Seize (16) bits est appelée « mot-mémoire » ou bien mot machine

Example: 1110001010100110

B₀ = 0 b₁= 1 b₂ = 1 b₃ = 0 b₄= 0 b₅= 1           b₁₄=l b₁₅= l

Système octal

        Le système décimal est celui qui est le plus utilisé par l’homme, et le système binaire est celui le plus utilisé dans les ordinateurs.

        Le système binaire présente l’inconvénient d’être difficile à manipuler par l’homme car les nombres sont représentés par une suite de 0 et 1 qu’il est difficile de lire ou d’interpréter sans erreur. Il est donc plus commode d’écrire les nombres codés en binaire sous une forme plus compacte, dans un système dont la base est une puissance de 2, de façon à permettre une conversion facile avec le système binaire.

        Nous définissons dans ce paragraphe le système octal, et plus loin le système hexadécimal.

        Certains calculateurs numériques utilisent le système octal qui est un système de numération dont la base 8.

         On dispose de huit symboles pour représenter un nombre dans le système octal. Ce sont les chiffres successifs allant de 0 à 7. Chaque chiffre d’un nombre octal a une pondération égale à la valeur du chiffre multipliée par la puissance de 8 correspondants au rang qu’il occupe dans le nombre.

Exemple : N = 536₈

-         Chiffre                 5                3                  6

-         Puissance             8²              8¹                8⁰

-         Pondération       320            24                6

L’addition des pondérations donne l’équivalent décimal du nombre octal considéré.

320+24+6 = 350

Soit 536₈ ⇒ 350₁₀

Système hexadécimal

         Ce système est utilisé sur la plupart des nouveaux calculateurs numériques. Sa base est égale à 16. On dispose de 16 symboles pour représenter un nombre hexadécimal. Ces symboles sont les 10 digits du système décimal auxquels on a ajouté les 6 premières lettres de l’alphabet. Les 16 symboles sont alors :

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F.

        Chaque signe d’un nombre hexadécimal a une pondération qui s’obtient en multiplient la valeur numérique du symbole par la puissance de 16 correspondant au rang qu’il occupe dans le nombre.

Exemple : N = 4CA2₁₆

L’addition des pondérations donne l’équivalent décimal du nombre hexadécimal considéré :

16384+3072+160+2 = 19618

Soit 4AC2₁₆ ⇒ 19618₁₀

L’intérêt de ces deux systèmes vient de ce que 8 et 16 ont des puissances entières de groupe de 3 et 4 bits et par conséquent, on peut effectuer les conversions Octale / Décimale ainsi que Hexadécimale / Décimale. (Voir Tableau):

III.      Transformations (conversions)

  Décimal / Binaire ,

Pour convertir un nombre décimal en un nombre binaire, diviser continûment le nombre décimal par la valeur 2, retenir la suite des restes de chaque division en commençant de bas en haut pour avoir le nombre équivalent.

Exemple :

(33)₁₀ = (100001)₂

Dans le cas où le nombre donné dispose d’une partie fractionnaire, l’opération de conversion se fait de la manière suivante :

·        Multiplier la partie, fractionnaire du nombre donné par 2 et retenir la partie entière du résultat trouvé.

·        Continuer à multiplier successivement par la valeur 2 les parties fractionnaires obtenues pendant chaque opération tout en retenant leurs parties entières, jusqu'à ce qu’on obtienne une partie fractionnaire nulle ou déjà obtenue, sinon ce sera une suite binaire infinie et dans ce cas , on peut se limiter à quelques bits (problème d’arrondi).

·        Le résultat de cette conversion est l'ensemble, des parties entières conservées à chaque étape de multiplication.

Exemple :

Transformer le numéro 23 en binaire ? (23)₁₀ = (10111)₂

Exemple :

Convertir le nombre (23.625) de la base 10 à la base 2.

La partie entière 23 est déjà déterminée, son résultat est : (23)₁₀ = (1011l) ₂. Pour la partie fractionnaire 0.625, on procède comme suit :

0.625 * 2 = 1.250

0.250 * 2 = 0.500

0.500 * 2 = 1.00

On constate que la dernière partie fractionnaire est nulle, donc le résultat sera :

(0.625)₁₀ = (0.101)₂

Le résultat final : (23.625)₁₀ = (10111.101 )₂ Prenons le cas infini par exemple (23.56)₁₀

Pour (23)₁₀ c'est toujours (10111): mais pour la partie fractionnaire (0.56)₁₀, on aura :

0.56 *2=1.12

0.12 *2 = 0.24

0.24*2 = 0.48

0.48 * 2 = 0.96

0.96*2 = 1.92

0.92 * 2= 1.84 etc.,

        On remarque, si on continue l'opération de multiplication de la partie fractionnaire par la valeur 2 , on ne tombe jamais sur le critère d’arrêt de cette opération , cela veut dire que la suite binaire est infinie et nous pouvons la tronquer en nous limitant à un certain nombre de bits .

         D’où le résultat final de : (23.56)₁₀ est (10111.100011)₂

III.2. binaire/décimale

       Pour convertir une suite binaire en système décimal, on procède de la manière suivante

        Faisons l’addition de tous les termes de la forme (bit * 2), en commençant de droite à gauche pour les parties entières et de gauche à droite pour les parties fractionnaires.

« bit » : peut prendre les valeurs 0 ou 1. Le symbole " i ” indique les puissances de 2 qui sont positives pour les parties entières et vont de 0 à (n-1) et négatives pour les parties fractionnaires et vont de la valeur (-1) jusqu’à (-m) avec n et m sont respectivement les longueurs de la suite binaire avant et après la virgule.

Exemple :

(10110 )₂ =0*2°+ 1 * 2¹ + 1 * 2² + 0 *2³ + 1 * 2⁴ = (22)₁₀

(10110 . 1011)2 = ?

-         Pour la partie entière (10110)₂ = (22)₁₀

-         Pour la partie fractionnaire : (0.1011)₂= (1*2^-1 + 0*2^-2 + 1 *2^-3 + 1* 2^-4 )

Le résultat final :

(10110.1011)₂ = (22.6875)₁₀

III.3 Binaire /Octale - Binaire / Hexadécimale

La conversion d’une suite binaire en système octal et en système hexadécimal, se fait respectivement par le regroupement de trois et de quatre bits, en commençant de droite à gauche, chaque-bloc de bits sera convertible en système demandé

Exemple :

(1010110111)₂ = (?)₈ et (?)₁₆

En base 8 (regroupement par des blocs de trois bits):

(111)₂ = 7 ; (110)₂ = 6 ; (010)₂=2 ; (001 )₂ = 1 D'où (101011011l)₂ = (1267)₈

- En base 16 (regroupement par des blocs de quatre bits), |

(0111)₂ = 7 ; (1011)₂ = B ; (0010)₂ = 2 D'où (1010110111); = (2B7)₁₆

Opérations arithmétiques et logiques

Addition en binaire

L'addition est réalisée bit à bit.

1 +0 = 1

1 +1 = 10

1 +1 + 1 = 11

Produit logique en binaire

La fonction ET est appliquée bit à bit

Les nombres signés

En binaire, le négatif d'un nombre est son complément à 2, c'est-à-dire son complément+1.

Soient deux nombres A=104  et B=42.             A- B =A+ (- B)