M1 Analyse mathématiques et Applications

Ce cours en ligne, destiné aux étudiants du Master Analyse Mathématique et Applications, propose une approche rigoureuse et progressive des équations différentielles ordinaires (EDO) et de leur rôle central dans la modélisation des phénomènes dynamiques.

L’objectif du cours est de fournir une base solide en analyse qualitative des EDO, en mettant l’accent sur :

• La stabilité et le comportement asymptotique des solutions,

• Les méthodes géométriques (cônes tangents, linéarisation, étude de phase),

• Et les applications en biologie mathématique, optimisation et physique.

📘 Contenu du cours :

• Chapitre 1 : Généralités sur les EDO
  Introduction aux notions fondamentales : existence, unicité, explosion en temps fini, systèmes linéaires et non linéaires, stabilité de l’origine, analyse dans le plan de phase.

• Chapitre 2 : Équations différentielles sous contrainte
  Étude des EDO dans des contextes contraints, introduction aux cônes tangents (notamment le cône de Bouligand) et aux conditions d’optimalité de type KKT, avec applications en optimisation géométrique.

• Chapitre 3 : Modélisation dynamique des populations
  Application des concepts aux modèles de croissance (logistique, Lotka-Volterra, proie-prédateur) et à des systèmes physiques tels que le circuit RLC ou l’équation de Korteweg–de Vries (solitons).

🎯 Objectifs pédagogiques :

• Maîtriser les outils d’analyse qualitative des systèmes dynamiques.

• Comprendre le lien entre rigueur mathématique, intuition géométrique et interprétation physique.

• Développer l’autonomie dans la modélisation et l’étude des systèmes basés sur les EDO.