Équations de la physique mathématique

• Équation elliptique

• Équation parabolique

• Équation hyperbolique

• Équation elliptique

• Équation hyperbolique dans tout \(\mathbf{R}^2\)

• Type dépend du point \((x,y)\)

• Toujours globale

• valable dans une région ou un domaine spécifique des variables indépendantes

  La réduction dépend de la régularité des coefficients et de la non-annulation du jacobien. Elle est locale car le changement de variables est en général valable uniquement dans un voisinage d'un point où les fonctions sont différentiables.

• Impossible sans conditions supplémentaires

• Sur tout le domaine \(\Omega\)

• Pour toute équation elliptique

• Localement autour d'un point régulier

  Même si l'équation est elliptique partout, la forme canonique est obtenue localement, car elle dépend d'un changement de coordonnées locales souvent construit à partir de la diagonalisation ponctuelle de la forme quadratique.

Pour l'EDP linéaire d'ordre 2 suivante

\(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}-2 \sin x \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}-\cos ^2 x \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}-\cos x \frac{\partial u}{\partial y}=0 .\)

• Vérifier que cette équation est parabolique sur \(\mathbb{R}^2\).

• Déterminer les courbes caractéristiques de cette équation.

• Effectuer le changement de coordonnées correspondant afin d'obtenir la forme canonique correspondante.

• Trouver la solution générale de cette équation dans le domaine \(\mathbb{R}^2\): \(u(0; y) = f(y)\); \( u_x(0, y) = g(y)\);

où f et g sont des fonctions données.

• Coefficients constants

  Si l'équation a des coefficients constants, alors le changement de variables peut être global, car il ne dépend pas d'un point particulier. Par exemple,

  \(u_{xx}​−u_{yy}​=0\)

  peut être globalement transformée via une rotation

• Discriminant constant

• Équation parabolique uniquement

• La nature (hyperbolique, elliptique...) d'une EDP est conservée sous un changement de variables régulier.

• Le discriminant \(\Delta' = J^2\Delta\) permet de conclure sur la conservation du type.

• toute EDP peut être globalement réduite à une forme canonique.

• La réduction locale est inutile si l'équation est linéaire.