Problème de Cauchy
Rappel :
Soit \(f\) une fonction d'une seule variable et \(( \gamma\) ) la courbe définie par l'équation \(y=f(x)\). Posons \(F(x, y)=f(x)-y\). Alors, le vecteur \(\vec{n}=\nabla F\left(x_0, f\left(x_0\right)\right)=\left(f^{\prime}\left(x_0\right),-1\right)\) est perpendiculaire à (\(\gamma\)) en \(\left(x_0, f\left(x_0\right)\right)\).
Définition :
Le problème de Cauchy relatif à une courbe \((\gamma)\) régulière consiste à chercher (si elle existe) la solution de l'équation
\(a(x, y) \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+b(x, y) \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}+c(x, y) \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=F\left(x, y, u, \frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y}\right)\)
qui vérifie
\(u(x, y)=g(x, y) \operatorname{sur}(\gamma)\)
et
\(\frac{d u}{d n}(x, y)=h(x, y) \operatorname{sur}(\gamma) .\)
où \(\frac{d u}{d n}\) désigne la dérivée normal et \(f\) et \(g\) sont des fonctions de classe \(C^1\) et \(C^2\) sur \(\gamma\), respectivement.
Rappel :
1-Soit \(\gamma: t \longmapsto(x=\varphi(t), y=\psi(t))\) une courbe de \(\mathbb{R}^2\) dont tout point est régulier c'est à dire tel que \(\left(\frac{d \psi}{d t}\right)^2+\left(\frac{d \psi}{d t}\right)^2>0\). On cherche une solution de Pb[1]de cauchy qui vérifie des conditions supplémentaires sur la courbe \(\gamma\) : On suppose connue la valeur de \(u\) sur \(\gamma\) ainsi que celle de ses dérivées \(\frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y}\).
a) Soient \(x(t), y(t)\) les coordonnées du point \(M(t)\) parcourant la courbe \(\gamma(t)\). On appelle abscisse curviligne une primitive de \(\sqrt{\left(x^{\prime}(t)\right)^2+\left(y^{\prime}(t)\right)^2}\); c'est une fonction \(s\) telle que \(\left(\frac{d s}{d t}\right)^2=\left(\frac{d x}{d t}\right)^2+\left(\frac{d q}{d t}\right)^2\).
b) Soit
\(\vec{T}=\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{ds}} \vec{e}_1+\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{ds}} \vec{e}_2=\frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{ds}}\left[\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{dt}} \vec{e}_1+\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dt}} \vec{e}_2\right]\)
avec \(\|\vec{T}\|=1\). Le vecteur \(\vec{T}\) est tangent à la courbe \(\gamma\), de plus le vecteur normal \(\vec{N}=-\frac{d y}{d s} \vec{e}_1+\frac{d x}{d s} \vec{e}_2 . N\) s'obtient à partir du vecteur tangent \(\vec{T}\) par une rotation de \(\frac{\pi}{2}\).
c) On appelle dérivée normale la grandeur\( \frac{d u}{d n}= < grad(u), \vec{N}>\)
2. \(\varphi\) une fonction de classe
\(\mathrm{C}^1, \lim _{\mathrm{h} \rightarrow 0} \frac{1}{\mathrm{~h}}[\varphi(\mathrm{M}+\mathrm{h} \vec{N})-\varphi(\mathrm{M})]=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dn}}(\varphi(\mathrm{M})\)
On pose maintenant
\(\begin{aligned}& H(t)=u[\varphi(t), \psi(t)] \\& U(t)=\frac{\partial u}{\partial x}[\varphi(t), \psi(t)] \\& V(t)=\frac{\partial u}{\partial y}[\varphi(t), \psi(t)] \\& W(t)=\frac{d u}{d n}[\varphi(t), \psi(t)]\end{aligned}\)
nous avons alors:
\(\frac{d u}{d n}(\varphi(t), \psi(t))=-\frac{\partial u}{\partial x}(\varphi(t), \psi(t)) \frac{d \psi}{d s}+\frac{\partial u}{\partial y}(\varphi(t), \psi(t)) \frac{d \varphi}{d s}=\langle\operatorname{grad} u, \vec{N}>\)
Done
\(\begin{aligned}W(t) & =-U(t) \frac{d \psi}{d s}+V(t) \frac{d \varphi}{d s} \\\frac{d H}{d t} & =U(t) \frac{d \varphi}{d s}+V(t) \frac{d \psi}{d s}\end{aligned}\)
Remarque : L'idée de l'étude
Si on connaît \(U, V\) et \(H\) on connaît \(W\) et \(H\), réciproquement si on connaît \(W\) et \(H\) on connaît \(W\) et \(\frac{d H}{d t}\). Le système linéaire précédent permet de déterminer \(U\) et \(V\) car tout point de \(\gamma\) est régulier \(\left(\frac{d x}{d s}\right)^2+\left(\frac{d y}{d s}\right)^2>0\) ).
Si on suppose \(H, U, V\) connues, c'est à dire \(u, \frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y}\) sur \(\gamma\). Si \(u\) est complètement déterminée, ses dérivées secondes doivent être déterminés sur \(\gamma\).
Méthode :
En dérivant le système précédent on a :
\(\left\{\begin{array}{l}U^{\prime}(t)=\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}(\varphi(t), \psi(t)) \varphi^{\prime}(t)+\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}(\varphi(t), \psi(t)) \psi^{\prime}(t) \\V^{\prime}(t)=\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}(\varphi(t), \psi(t)) \varphi^{\prime}(t)+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}(\varphi(t), \psi(t)) \psi^{\prime}(t) \\F(\varphi(t), \psi(t), H(t), U(t), V(t))=a(\varphi(t), \psi(t)) \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}(\varphi(t), \psi(t))+ \\b(\varphi(t), \psi(t)) \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}(\varphi(t), \psi(t))+c(\varphi(t), \psi(t)) \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}(\varphi(t), \psi(t)) .\end{array}\right.\)
Le déterminant \(\Delta\) est :
\(\begin{gathered}\Delta=\left|\begin{array}{ccc}\varphi^{\prime}(t) & \psi^{\prime}(t) & 0 \\0 & \varphi(t) & \psi^{\prime}(t) \\a(\varphi(t), \psi(t)) & b(\varphi(t), \psi(t)) & c(\varphi(t), \psi(t))\end{array}\right| \\\left.\Delta=\mathbf{c}\left[\varphi^{\prime}(\mathbf{t})\right)\right]^2-\mathbf{ b} \varphi^{\prime}(\mathbf{t}) \psi^{\prime}(\mathbf{t})+\mathrm{a}\left[\psi^{\prime}(\mathbf{t})\right]^{\mathbf{2}}\end{gathered}\)
En résumé si \(\Delta \neq 0\) les dérivées secondes sur $\gamma$ sont déterminées de façon unique. Si \(\Delta=0\) le système précédent \(a\) soit aucune, soit une infinité de solutions.
Définition : Résolution des EDP simples
Les courbes caractéristiques sont les courbes $\gamma$ qui annulent $\Delta(t)$ :
\(\begin{gathered}\Delta(t)=c(\varphi(t), \psi(t))\left[\psi^{\prime}(t)\right]^2-2 b(\varphi(t), \psi(t))\left[\varphi^{\prime}(t) \psi^{\prime}(t)\right]+ \\a\left(\varphi(t), \psi(t)\left[\psi^{\prime}(t)\right]^2 .\right.\end{gathered}\)
On dit que \(\gamma\) n'est caractéristique en aucun point si \(\forall t \,\Delta(t) \neq 0\).
Fondamental : Théorème
Si la courbe \((\gamma)\) n'est pas caractéristique, le problème de Cauchy admet une solution unique.