Équations de la physique mathématique

L'équation exprimée dans le nouveau système de coordonnées $(\xi, \eta)$ poursuit deux objectifs fondamentaux :

1. Préserver la nature de l'équation initiale(elliptique, hyperbolique ou parabolique), grâce à la relation :

   \(\Delta^{\prime}(\xi, \eta)=b^{\prime 2}(\xi, \eta)-4 a^{\prime}(\xi, \eta) c^{\prime}(\xi, \eta)=J^2 \Delta(x, y) ,\)

   où \(\Delta(x, y) = b^2 - 4aC\) est le discriminant de l'équation initiale, et \(\Delta'(\xi, \eta)\) celui de l'équation transformée. Comme \(J^2 > 0\), le signe du discriminant est conservé, ce qui garantit l'invariance du type de l'équation.

2. Faciliter la réduction de l'équation à une forme canonique, propre à chaque type d'EDP, afin de permettre l'utilisation de méthodes analytiques classiques telles que :

• séparation des variables,

• les séries de Fourier,

• les transformées de Fourier ou de Laplace.

Cette simplification rend l'analyse qualitative et la résolution de l'équation plus accessibles comme le monter dans le tableau suivante :

Les équations des courbes caractéristiques sont données par

\(\frac{d y}{d x}=\frac{b \pm \sqrt{b^2-4 a c}}{2 a}\) .

En posant \(\xi=\psi_1(x, y)\) et \(\eta=\psi_2(x, y)\) où \(\psi_i, i=1,2\), la forme canonique de \(\left(\mathcal{E}_h\right)\) s'écrit

\(\frac{\partial^2 v}{\partial \xi \partial \eta}=G\left(\xi, \eta, v, \frac{\partial v}{\partial \xi}, \frac{\partial v}{\partial \eta}\right)\) .

Pour la preuve de cette théorème, on cherche des coordonnées \((\xi, \eta)\) tels que \(a^{\prime}=0\) ou \(c^{\prime}=0\). Les expressions de \(a^{\prime}\) et \(c^{\prime}\) sont de la même forme

\(a\left(\frac{\partial \psi}{\partial x}\right)^2+b\left(\frac{\partial \psi}{\partial x}\right)\left(\frac{\partial \psi}{\partial y}\right)+c\left(\frac{\partial \psi}{\partial y}\right)^2=0 .\)

Par factorisation, on obtient

\(\frac{1}{a}\left[a\left(\frac{\partial \psi}{\partial x}\right)+\left(b-\sqrt{b^2-4 a c}\right)\left(\frac{\partial \psi}{\partial y}\right)\right]\left[a\left(\frac{\partial \psi}{\partial x}\right)+\left(b+\sqrt{b^2-4 a c}\right)\left(\frac{\partial \psi}{\partial y}\right)\right]=0 .\) sous hypotypose que\( a\neq 0\), sinon\( c\neq0.\)

ce qui implique après simplification

\(\frac{\partial^2 v}{\partial \xi \partial \eta}=\frac{\eta}{2\left(\xi^2-\eta^2\right)} \frac{\partial v}{\partial \xi}-\frac{\xi}{2\left(\xi^2-\eta^2\right)} \frac{\partial v}{\partial \eta}\)

C'est la forme canonique de l'EDP aux points pour lesquels celle-ci est hyperbolique.

• 2^éme Cas parabolique

Soit ( \(\mathcal{E}_p\) ) une équation parabolique. On sait que dans ce cas \(b^2-4 a c=0\) et par conséquent l'équation \((1)\) admet deux solutions confondues. Donc, il existe une seule courbe caractéristique réelle d'équation \(\psi_1(x, y)=c_1\) pour l'équation 1.

L'équation des caractéristiques est donnée par

\(\frac{d y}{d x}=3\)

dont la solution est \(3 x-y=C\). La première courbe caractéristique est \(\varphi_1(x, y)=3 x-y\). On pose donc \(\xi=3 x-y\). Pour obtenir une seconde coordonnée caractéristique \(\eta\), on a beaucoup de choix. Pour cet exemple, on prendra \(\eta(x, y)=x\). Cette fonction a bien des dérivées partielles d'ordre \(m \leq 2\) continues et

\(J=\left|\begin{array}{cc}3 & -1 \\1 & 0\end{array}\right|=1 \neq 0 .\)

pour tout point de $\mathbb{R}^2$. En utilis ant ce changement de coordonnées

\(\left\{\begin{array}{l}\xi=3 x-y, \\\eta=x\end{array}\right.\)

et on pose \(u(x, y)=v(\xi, \eta)\), on obtient

\(\left\{\begin{array}{l}x=\eta, \\y=3 \eta-\xi .\end{array}\right.\)

En utilisant la règle de chaîne, on obtient

\(\begin{gathered}\frac{\partial u}{\partial x}=3 \frac{\partial v}{\partial \xi}+\frac{\partial v}{\partial \eta} \\\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial \xi} \\\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}=\frac{\partial}{\partial x}\left(3 \frac{\partial v}{\partial \xi}+\frac{\partial v}{\partial \eta}\right)=9 \frac{\partial^2 v}{\partial \xi^2}+6 \frac{\partial^2 v}{\partial \xi \partial \eta}+\frac{\partial^2 v}{\partial \eta^2} \\\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\left(-\frac{\partial v}{\partial \xi}\right)=-3 \frac{\partial^2 v}{\partial \xi^2}-\frac{\partial^2 v}{\partial \xi \partial \eta} \\\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=\frac{\partial^2 v}{\partial \xi^2}\end{gathered}\)

et finalement

\(\frac{\partial^2 u}{\partial \eta^2}=5 \frac{\partial v}{\partial \xi}+\frac{\partial v}{\partial \eta} .\)

3^éme cas Équation elliptique:

Soit ( \(\mathcal{E}_e\) ) une équation elliptique. On sait que dans ce cas \(b^2-4 a c<0\) et par conséquent l'équation \((1)\) admet deux solutions complexes. Donc, les courbes caractéristiques sont définies à partir des parties réelle et imaginaire des solutions.

Soit \(\varphi\) une solution de l'équation

\(\frac{d y}{d x}=\frac{b \pm i \sqrt{b^2-4 a c}}{2 a}\)

La forme canonique de \(\left(\mathcal{E}_e\right)\) s'écrit

\(\frac{\partial^2 u}{\partial \xi^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial \eta^2}=G\left(\xi, \eta, v, \frac{\partial v}{\partial \xi}, \frac{\partial v}{\partial \eta}\right) .\)

où \((\xi, \eta)\) sont données par

\(\left\{\begin{array}{l}\xi=\operatorname{Re} \varphi \\\eta=\operatorname{Im} \varphi .\end{array}\right.\)

$b^2(x, y)-4 a(x, y) c(x, y)=-4 x=4 i^2 x$. Comme $x>0$, cette EDP est elliptique sur le domaine $D$. A ces points, les équations caractéristiques sont

$$

\frac{d y}{d x}= \pm i \sqrt{x}

$$

En utilisant la méthode de séparation de variables, on obtient \(\frac{3}{2} y \pm i x^{\frac{3}{2}}=C\) où\( C\) est une constante complexe. On pose

\(\left\{\begin{array}{c}\xi=\frac{3}{2} y, \\\eta=-x^{\frac{3}{2}} .\end{array}\right.\)

et \(u(x, y)=v(\xi, \eta)\). En utilisant la règle de chaîne, on obtient

\(\begin{gathered}\frac{\partial u}{\partial x}=-\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} \frac{\partial v}{\partial \eta} \\\frac{\partial u}{\partial y}=\frac{3}{2} \frac{\partial v}{\partial \xi} \\\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}=\frac{\partial}{\partial x}\left(-\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} \frac{\partial v}{\partial \eta}\right)=\frac{9}{4} x \frac{\partial^2 v}{\partial \eta^2}-\frac{3}{4} x^{-\frac{1}{2}} \frac{\partial v}{\partial \eta} \\\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{3}{2} \frac{\partial v}{\partial \xi}\right)=\frac{9}{4} \frac{\partial^2 v}{\partial \xi^2}\end{gathered}\)

et finalement

\(\begin{aligned}\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+x \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} & =\frac{9}{4} x \frac{\partial^2 v}{\partial \eta^2}-\frac{3}{4} x^{-\frac{1}{2}} \frac{\partial v}{\partial \eta}+\frac{9}{4} x \frac{\partial^2 v}{\partial \xi^2} \\& =\frac{9}{4}\left(\frac{\partial^2 v}{\partial \eta^2}+\frac{1}{3 \eta} \frac{\partial v}{\partial \eta}+\frac{\partial^2 v}{\partial \xi^2}\right)\end{aligned}\)

La forme canonique de l'équation de Tricomi est

\(\frac{\partial^2 v}{\partial \eta^2}+\frac{\partial^2 v}{\partial \xi^2}=-\frac{1}{3 \eta} \frac{\partial v}{\partial \eta}\)