Classification des équations [Équations de la physique mathématique]

Classification des équations

Définition : Équations aux dérivées partielles du second ordre

La forme générale d'une EDP d'ordre 2 et de dimension 2 est:

$\begin{equation}\label{2eredp}F\left( x_1,x_2,u,\partial_{x_1} u,\partial_{x_2} u,\partial^2_{x_1^2} u,\partial^2_{x_2^2} u, \partial^2_{x_1 x_2},\partial^2_{x_2 x_1} u \right)=0\end{equation}$

Ou' $(x_1,x_2) \in \Omega\subset \mathbb{R}^2$; la fonction $u(x,y)$ est continue dans un domaine $D\in\mathbb{R}^2$, ainsi que ses dérivées.

En transformant cette équation en identité, elle s'appelle la solution régulière ou classique de

cette équation.

Fondamental : Classification des équations semi-linéaire :

On appelle équation aux dérivées partielles semi-linéaire du second ordre, d'inconnue $u$ sur un ouvert $\Omega$ de $mathbb{R}^2$, une équation de la forme :

$\begin{equation*}a(x, y) \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+b(x, y) \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}+c(x, y) \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=F\left(x, y, u, \frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y}\right)\tag{$\varepsilon$} ; \end{equation*}$

où $a, b, c$ sont des fonctions données, et $F$ une fonction définie dans un ouvert de $\mathbb{R}^2$.

Complément :

La classification des EDPs^[1] du second ordre est issue de la classification de l'équation quadratique des sections coniques en géométrie analytique. L'équation

$a x^2+b x y+c y^2+d x+e y+f=0$

représente l'hyperbole, la parabole ou l'ellipse selon le signe de $b^2-4 a c$ (positif, nul ou négatif). Alors, La classification de l'équation ( $\mathcal{E}$) dépend des coefficients $a(x, y), b(x, y)$ et $c(x, y)$ en un point donné $(x, y)$.

Remarque :

Suite aux Définition précédant avant la matrice $A$ est définie sous cette forme: partie principal (avec $u$ différentiable deux fois , $\frac{\partial^2 u}{\partial xy}= \frac{\partial^2 u}{\partial xy}$):

$a(x, y) \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+b(x, y) \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}+c(x, y) \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = \left(\frac{\partial }{\partial x}\quad \frac{\partial }{\partial y}\right)\left(\begin{array}{ll}2a(x, y) & b(x, y) \\[0.7cm] b(x, y) & 2c(x, y)\end{array}\right)\begin{pmatrix} \frac{\partial }{\partial x}\\[0.7cm] \frac{\partial }{\partial y}\end{pmatrix}$

Classification fondée sur sesV.p^[2] .( $\lambda_i$,réelles, car $A$ est symétrique), alors le polynôme caractéristique de cette matrice :

$\operatorname{det}(A-\lambda I)=\lambda^2-2(a+c) \lambda+4a c-b^2$

donc il y a deux valeur propre $\lambda_1$ et $\lambda_2$ avec :

$\begin{equation*}\lambda_1 \times \lambda_2=\frac{4a c-b^2}{1} \quad \text { et } \quad \lambda_1+\lambda_2=a+c\end{equation*}$

indépendant de système de coordonnées.

Conséquemment, on donne la définition suivante.

Définition :

Soit $\Delta(x, y)=b^2(x, y)-4 a(x, y) c(x, y)$, on a les cas suivants

Si $\Delta(x, y)>0$, l'équation est dite hyperbolique $\Longrightarrow \lambda_1 \times \lambda_2 <0$ .
Si $\Delta(x, y)=0$, l'équation est dite parabolique $\Longrightarrow \lambda_1=0 $ or $ \lambda_2 =0$ .
Si $\Delta(x, y)<0$, l'équation est dite elliptique $\Longrightarrow \lambda_1 \times \lambda_2 >0$ .

Exemple :

L'équation des ondes

$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}-c \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}=0$

est une équation hyperbolique sur le domaine $D=\mathbb{R}_{+} \times \mathbb{R}$.

Exemple :

Pour l'équation

$x^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}-x y \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}+y^2 \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=\sin (x+y)$

Si $x=0$ ou $y=0, \Delta$ s'annule. Alors sur le domaine $D=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^2 / x=0\right$, ou $\left.y=0\right\}$ cette EDP est parabolique et elliptique sur $\mathbb{R}^2 \backslash D$.

Pour transformer l'équation $(\mathcal{E})$ en une forme canonique, on a besoin de faire un changement de variables indépendantes.

Quelques équations du second ordre de la physique mathématique

Équation des ondes : $\dfrac{\partial ^2 u}{\partial t^2}=c^2\Delta u$, ou' $u(x, y, z, t)$ est utilisé pour modéliser de petites oscillations, elle joue un grand rôle dans la dynamique des fluides et dans l'électromagnétisme.
Équation de la chaleur $\dfrac{\partial u}{\partial t}=k\Delta u$,ou' $u(x, y, z, t)$ est utilisée dans l'étude de la conduction thermique.
Équation de Laplace ou du potentiel $\Delta u=0$$, ou' $u(x, y, z, t)$, apparaît notamment dans: astronomie, électrostatique, mécanique des fluides et la mécanique quantique.