EDPs du premier ordre non linéaires
l'équation eikonale
Avant de passer au cas général non linéaire, analysons en détail le cas particulier de l'équation eikonale. Nous verrons que cette équation peut également être résolue par des caractéristiques. L'équation eikonale bidimensionnelle prend la
forme
où les surfaces
(où c est une constante) sont les fronts d'onde, et
est l'indice de réfraction du milieu. Les conditions initiales sont données sous la forme d'une courbe initiale.
Pour écrire les équations caractéristiques, notez que l'équation eikonale peut être exprimée comme :
Ainsi, le vecteur
décrit une direction tangente à la surface de solution (intégrale). Pour vérifier cet argument algébriquement, écrivons les équations des composantes
et
de la courbe caractéristique, et vérifions que l'équation de la composante
est cohérente avec \eqref{eko}.
Nous posons ainsi
Comme
et
sont inconnues en ce moment , on calcule
et même
Pour écrire la solution de l'équation eikonale, notez qu'il résulte de la définition des courbes caractéristiques que
L'intégration de la dernière équation conduit à une formule qui détermine
au point
en fonction de la valeur initiale de
et des valeurs de l'indice de réfraction le long du chemin d'intégration :
où
est une solution de \eqref{eko12} et \eqref{eko14}.
Avant de résoudre des exemples spécifiques, nous devons clarifier un point important concernant les conditions initiales des équations caractéristiques. Comme l'équation d'origine \eqref{eko12} implique les dérivées de u qui ne sont pas connues à ce stade, nous avons éliminé ces dérivées en différenciant une fois de plus les équations caractéristiques par rapport au paramètre
. En effet, les équations que nous avons obtenues \eqref{eko12} et \eqref{ekoin} ne
dépendent plus de u lui-même ; cependant, ce sont des équations du second ordre ! Par conséquent, il ne suffit
pas de fournir une seule condition initiale (comme le point initial de la courbe caractéristique sur la courbe initiale
), mais il faut aussi fournir les dérivées
. De manière équivalente, nous devons fournir le vecteur tangent à la caractéristique au point initial. Pour cela, nous utiliserons le fait que le vecteur requis est précisément le gradient
de u. De l'équation eikonale elle-même, nous savons que la taille de ce vecteur est
, et à partir de la condition initiale, nous pouvons trouver sa projection en chaque point de dans la direction tangente à . Mais évidemment, la taille d'un vecteur plan et sa projection selon une direction donnée déterminent le vecteur de manière unique. Nous obtenons donc la condition initiale supplémentaire.
Exemple :
Résolvez l'équation eikonale \eqref{eko} pour un milieu avec un indice de réfraction constant
et une condition initiale
.
La signification physique de la condition initiale est que le front d'onde est une ligne droite. Les équations caractéristiques sont
. Ainsi, les caractéristiques sont des droites, issues de la droite initiale
. Puisque
est constant sur une telle droite, le gradient de
lui est orthogonal. La deuxième condition initiale de la caractéristique est donc
.
On obtient ainsi :
Afin de trouver
et
, nous écrivons la courbe initiale paramétriquement comme
. En substituant la courbe initiale dans \eqref{ekoexo}, on obtient la surface intégrale
En éliminant
, on obtient la solution explicite
La solution obtenue a une interprétation physique simple : dans un milieu homogène, les courbes caractéristiques sont des droites (rayons lumineux classiques), et un front d'onde plan initial se propage dans la direction orthogonale à celles-ci. Par conséquent, tous les fronts d'onde sont plans.
Exemple :
Calculer la fonction
vérifiant l'équation eikonale
et la condition initiale
(
est un paramètre constant).
Écrire les conditions initiales paramétriquement sous la forme
. Cette condition implique
. En remplaçant la dernière expression dans l'équation eikonale, on obtient
. En intégrant les équations caractéristiques on obtient
Pour écrire une solution explicite, il faut observer l'identité
satisfaite par la surface intégrale. La solution est donc $u=n \sqrt{x^2+y^2}$. Cette solution représente une onde sphérique partant d'un seul point à l'origine des coordonnées
Méthode : Générale EDPs du premier ordre non linéaires
Dans cette point, on s'intéresse à résoudre des EDPs ayant la forme suivante
L'équation \eqref{Nonli} est souvent écrite à l'aide de notation standard
et
. Pour simplicité, les dérivées partielles seront notées par
.
La résolution de équation \eqref{Nonli} passe par les étapes suivantes.
Etape 1: A l'équation \eqref{Nonli}, associons une seconde équation de la forme
où
. Voir le prochain exemple pour la construction de telle fonction
. La méthode de
résolution de ce type des équations est basée d'abord sur la construction d'une EDP du premier
ordre dont l'inconnue est
.
Etape 2:Condition de compatibilié
On tire
et
des deux équations \eqref{Nonli} et \eqref{associ}}. Ce sont des fonctions de
et
, c-à-d
,
et l'on écrit
D'après Théorène de Schwarz2, on obtient
Cette équation on l'appelle souvent "« condition de compatibilité »
". On calcule les dérivés de
et
en dérivant les 2 équations par rapport à
et
, considérées comme variables indépendantes
On a ainsi
Comme
et
ne sont pas liées, on a
La condition de compatibilité (2.20) s'écrit donc
soit
Complément :
Etape 3: Système caractéristique
L'équation \eqerf{EDPD4INCONUE G} c'est une E.D.P linière du 1er ordre d'inconnue
; fonction de 5 variables
son
système caractéristique
Toute intégrale première de ce système contenant effectivement
ou
fournit une fonction
Etape 4: Construction de la solution
l n'est pas nécessaire de connaitre toutes les intégrales premières. Il sufit d'en connaitre une,
puis on intègre le système
On tire alors
et
et on intègre la différentielle
Exemple :
Reprenons maintenant l'équation de l'exemple précédent et posons
On doit résoudre
: On a
Le système caractéristique associé est
D'où
et
D'autre part
et
Parmi ces quatre intégrales premières, il suffit d'en choisir une seule pour résoudre le problème. Prenons par exemple
, on doit intégrer le système
Si on pose
alors
d'où
ce qui donne
, ou'
est un constant arbitraire. Cette solution sera appelée intégrale complète de l'E.D.P dans l'exemple pour plus de détailles nous recommandons les lecteurs pour lire les ouvrages attache suivant.
Cas particuliers
Il existe quelques méthodes pour des cas particuliers où la solution complète est facile à trouver. Pour en savoir plus, voici la vidéo suivante.
