Problème de Cauchy
et
étant trois fonctions supposées de classe
dans un ouvert de
,
une fonction analytique définie sur une courbe régulière
de
donnée sous
forme paramétrique
.
Soit (
) une courbe régulière de
et soit
une fonction analytique sur
Définition :
Le problème de Cauchy sur la courbe (
), est un problème constitué de l'équation
dont on cherche une solution vérifiant :
Fondamental : Théorème de Cauchy-Kowalewski
Si la courbe (
) n'est pas caractéristique, alors le problème de Cauchy admet une solution
unique.
Remarque :
Ce théorème donne un résultat local d'existence et d’unicité de la solution analytique autour de la courbe de condition initiale. Il ne donne pas à priori d'information sur la taille du domaine d'existence de la solution. De même des solutions
non-analytiques sont susceptibles de coexister
Méthode : Méthode des caractéristiques
Un problème est bien posé si la condition limite n'est pas donnée le long d'une caractéristique. Considérons un problème de Cauchy bien posé, ou' la courbe de condition limite (
) n'est pas une caractéristique et déterminons comment construire la courbe caractéristique qui passe par le point
de (
) correspondant à l'abscisse curviligne
.
Cette courbe caractéristique (
) de
dont une représentation paramétrique est donnée par :
.
est solution de :
avec la condition initiale
.
Remarque :
D'après Théorème précédent la construction d'une solution explicite n'est pas souvent
disponible. On peut donner juste un développement sous forme d'une série entière au
voisinage de (
). Dans le cas d'une EDP linéaire homogène, on peut trouver la solution
explicite comme dans l'exemple suivant et les exercice 6, 7 et 8
Exemple :
On considère le problème de Cauchy suivant
1) Une courbe caractéristique associé à (
) est une solution de son système caractéristique (
)
2) Le problème de Cauchy est posé sur la courbe
(L'axe des ordonnées) :
a) Si la courbe (
) n'est pas caractéristique, le problème (
) admet une solution unique.
b) Si la courbe (
) est une courbe caractéristique, le problème (
) peut ne pas avoir de solution ou il peut en avoir une infinité.
3)On définit les caractéristiques comme des courbes
données par
. Les
équations qui satisfassent
sont
4) Déterminons les courbes caractéristiques de (
).
Intégrons l'équation
Ceci donne
une intégrale première. Comme l'équation est linéaire homogène, l'équation cartésienne des
courbes caractéristiques est
.
Pour tracer cette courbe, on trace la graphe des fonctions
5)Démontrons que la solution de
est constante le long
. Le long des caractéristiques, la solution vérifie
ce qui implique que les solutions sont constantes le long des caractéristiques.
6)Résolvons
si c'est possible: Comme la courbe
n'est pas caractéristique et comme
toutes les caractéristiques coupent la courbe
, le problème
admet une solution unique.
Soit
un point du plan correspondant à
. Soit
la caractéristique
passant par ce point et coupe la courbe de Cauchy au
avec
, alors on obtient
ce qui implique que
. Comme la solution est constante le long de
, il
en résulte que
On obtient donc pour tout
.
Exemple :
Le problème de Cauchy suivant
n'admet pas de solution d’après le théorème d'existence et d'unicité car il es posé sur un
caractéristique.
