Intégrales premières d'un système différentiel et EDPs quasi linéaire du premier ordre
L'étude d'un systèmes diférentiels du premier ordre de n équations
Le système s'écrit sous la forme canonique
où
désignent
fonctions inconnues de la variable
. On dérive la première fonction
fois, et on remplace chaque fois
par leurs expressions issues du système \eqref{syst},
on obtient un nouveau système :
On élimine maintenant
entre les équations de \eqref{syst}. Alors
doit vérifie l'équation
différentielle d'ordre n suivante
Complément :
La solution ou l'intégrale générale de l'équation \eqref{eli} s'écrit
.
Où
sont des constantes. L'intégrale générale du système \eqref{syst} s'obtient en portant
dans les
premières équations de \eqref{syst1} les valeurs de
et en résolvant ces
équations en
, sans d'effectuer aucune nouvelle intégration. On obtient alors
Le système \eqref{syst2} est appelé l'intégrale générale du système \eqref{syst}.
Exemple :
Déterminer les fonctions
et
solution du système
où
, une variable indépendante. On obtient alors
Puis en éliminant la variable
de la deuxième équation, on se conduit à
D'où l'équation caractéristique :
; qui a pour racine
et
.
L'intégrale générale est :
,
où
et
sont des constantes réelles. En portant ce résultat dans la première équation
du système \eqref{systex}, on obtient sans intégration
Remarquons que
et
dépendent de deux constantes arbitraires, i.e
Fondamental : Intégrales premières d'un système différentiel
Intégrales premières d'un système différentiel
Dans cette section, on va caractériser les solutions du système différentiel en utilisant la notion de l'intégrale première. D'abord, on associe au système \eqref{syst} des conditions initiales :
, pour
. La résolution du système \eqref{syst2} par rapport aux constantes
permet d'exprimer l'intégrale
générale sous la forme
Les fonctions
qui sont des constantes, dites intégrales premières du système \eqref{syst}.
Définition :
On appelle intégrale première d'un système différentiel, une fonction
de
classe
des variables
non constante telle que pour toute solution
du système différentiel, la fonction
.
Méthode :
Trouver des intégrales premières pour un système différentiel n'est pas toujours facile. Cela est parfois possible grâce à la relation suivante:
Soient
et
des réels vérifiant la relation suivante
Alors, pour tout couple de réels
vérifiant
Exemple :
Déterminer les fonctions
et
solution du système
puis donner les fonctions
et
solutions de ce système.
On peut réécrire le système \eqref{systex2} sous la forme
On va maintenant chercher 2 intégrales premières pour le système \eqref{systex2}. La relation
\eqref{relation} permet d'écrire
où
, une variable indépendante. On obtient alors
Complément :
On tire de cette relation que
ce qui donne
.
D'où la première intégrale première du système \eqref{systex2} est obtenue. D'autre part, le
système \eqref{systca} donne
Remarquons que les fonctions
et
ont des différentielles
proportionnelles, on a donc
Maintenant, si on veut chercher explicitement les expressions de
et
; il suffit de considérer le système suivant
EDPs quasi linéaire du premier ordre
Dans cette section, on s'intéresse à la résolution des EDPs du premier ordre. On va voir que
la résolution de ses équations se ramène à la résolution de son système caractéristique. Le
système caractéristique est un système différentiel dont lequel la solution s'exprime en utilisant
les intégrales premières. On s'intéresse à l'étude des équations linéaires en
il s'agit
des EDPs quasi linéaires du $1^{er}$ ordre. Au début, on s'intéresse aux EDPs quasi linéaires du
ordre en dimension
.
Définition :
On appelle équation aux dérivées partielles quasi-linéaire du premier ordre, d'inconnue
, une équation de la forme
pour
ouvert de
: Les coefficients
et le seconde membre
sont
des fonctions données.
Exemple :
L'equation
est quasi-linéaire du premier ordre et de dimension 2.
Construction de solutions
Définition :
En dimension 2, l'équation (2.3.1) prend la forme
Méthode :
En géométrie, une surface
de
, a pour équation
Constante. Lorsqu'il existe un voisinage ou'
peut être résolue en
, on est ramené, à l'équation cartésienne
:
On interprète la solution
de \eqref{equqsi d02} comme une surface de
. Analytiquement, on
cherche les solutions de \eqref{equqsi d02} sous forme implicite, il s'agit de chercher une fonction
de classe
définie sur un ouvert
de
telle que
En appliquant le théorème des fonctions implicites, on trouve :
et
, en tout point avec
On constate alors que si
est solution de \eqref{equqsi d02}, alors
est solution de
l'équation suivante:
Complément :
D'un autre coté, on a
Par identification de\eqref{Car1} et \eqref{Car2}, on obtient le système suivant
la fonction $\varphi$ est donc une intégrale première du système \eqref{SCAR}. Ce
système est appelé "système caractéristique" de l'équation aux dérivées partielles \eqref{equqsi d02}.
Remarque :
On convient d'écrire toujours la relation \eqref{SCAR} mémé si l'un des dénominateur est nul, dans ce cas le numérateur correspondant l'est aussi.
Définition : Fonctions indépendantes
On dit que deux fonctions
et
de classe
dans un ouvert
de
sont fonctionnellement indépendantes si les seules fonctions différentiables
des deux variables
et
qui vérifient :
est constante dans
sont les constantes.De façon analogue
,
et
de classe
dans un ouvert
de
sont fonctionnellement indépendantes si les seules fonctions différentiables
des deux variables
et
qui vérifient :
est constante dans
sont les constantes.
Fondamental : Théorème 1 :
On dit que deux fonctions
et
de classe
dans un ouvert
de
sont fonctionnellement indépendantes si et seulement si : Le rang du tableau
est deux dans
.
Trois fonctions
,
et
sont fonctionnellement indépendantes dans
si et seulement si le rang du Jacobien
est trois dans
.
Fondamental : Théorème 02
Soient
et
deux intégrales premières indépendantes de \eqref{SCAR}, Alors toute Intégrale première
de ce système s'exprime alors en fonction de
et
, c'est-à-dire qu'il existe
de classe
telle que
.\ Soit
une intégrale première de
, toute intégrale première
de ce système s'exprime en fonction de
il existe
tel que
.
Méthode : Méthode pratique
Pour trouver une intégrale première
de
.On utilise l'égalité
pour trouver
et
telles queil existe
vérifiant
,
.
On procédé de façon analogue pour résoudre
on cherche
et
indépendante telles que :Il existe
vérifiant
,
.
Exemple :
Résoudre
On a
.
donc
est une intégrale première. Les solutions de (S) sont donc les courbes
ou'
.
Fondamental : Théorème 03
L'ensemble des solutions de l'équation \eqref{equqsi d02} est constitué des intégrales premières du système \eqref{SCAR}. En plus, si
et
sont une paire des intégrales premières indépendantes,
alors la solution générale de \eqref{equqsi d02} peut être écrite explicitement comme
, où
désigne une fonction arbitraire régulière de deux variables.
Exemple :
Considérons l'équation
Le système caractéristique est
Donc les intégrales premières sont données par
.
Les fonctions de la forme
décrivent l'ensemble des intégrales premières. On peut donc donner les solutions
sous forme implicite
Définition :
On appelle courbes caractéristiques (
) de l'équation aux dérivées partielles du premier
ordre \eqref{equqsi d02} les solutions de son système caractéristique \eqref{SCAR}.
Complément : Généralisation au cas de n dimensions
On associe le système différentiel (S) de L'EDPs \eqref{equqsi} comme suivante:
,
ou' les fonctions
et le second member
sont donnée.
La résolution de \eqref{equqsi d02} revient donc à chercher
intégrales premières indépendantes
du système (S). L'ensemble des solutions de l'équation \eqref{equqsi} est représentée par une
fonction de
intégrales premières du système (S)
