- contenu
- menu
- navigation
- outils
- pied de page

# Équations de la physique mathématique

Mode :

- Cours
- Outils

Menu :

- Objectifs
- Objectif
- Chapitre 02 : EDPs du premier ordre
  - Rappel générale
  - Intégrales premières d'un système différentiel et EDPs quasi linéaire du premier ordre
  - Conditions aux limites
  - Problème de Cauchy
  - EDPs du premier ordre non linéaires
  - Liste d'exercices
- Test d'auto-évaluation de chapitre 02

Contenu :

## Intégrales premières d'un système différentiel et EDPs quasi linéaire du premier ordre

### L'étude d'un systèmes diférentiels du premier ordre de n équations

Le système s'écrit sous la forme canonique

où désignent fonctions inconnues de la variable . On dérive la première fonction

fois, et on remplace chaque fois par leurs expressions issues du système \eqref{syst},

on obtient un nouveau système :

On élimine maintenant entre les équations de \eqref{syst}. Alors doit vérifie l'équation

différentielle d'ordre n suivante

### Complément :

La solution ou l'intégrale générale de l'équation \eqref{eli} s'écrit

.

Où sont des constantes. L'intégrale générale du système \eqref{syst} s'obtient en portant

dans les premières équations de \eqref{syst1} les valeurs de et en résolvant ces

équations en , sans d'effectuer aucune nouvelle intégration. On obtient alors

Le système \eqref{syst2} est appelé l'intégrale générale du système \eqref{syst}.

### Exemple :

Déterminer les fonctions et solution du système

où , une variable indépendante. On obtient alors

Puis en éliminant la variable de la deuxième équation, on se conduit à

D'où l'équation caractéristique : ; qui a pour racine et .

L'intégrale générale est : ,

où et sont des constantes réelles. En portant ce résultat dans la première équation

du système \eqref{systex}, on obtient sans intégration

Remarquons que et dépendent de deux constantes arbitraires, i.e

### Fondamental : Intégrales premières d'un système différentiel

Intégrales premières d'un système différentiel

Dans cette section, on va caractériser les solutions du système différentiel en utilisant la notion de l'intégrale première. D'abord, on associe au système \eqref{syst} des conditions initiales : , pour . La résolution du système \eqref{syst2} par rapport aux constantes permet d'exprimer l'intégrale

générale sous la forme

Les fonctions qui sont des constantes, dites intégrales premières du système \eqref{syst}.

### Définition :

On appelle intégrale première d'un système différentiel, une fonction de

classe des variables non constante telle que pour toute solution du système différentiel, la fonction .

### Méthode :

Trouver des intégrales premières pour un système différentiel n'est pas toujours facile. Cela est parfois possible grâce à la relation suivante:

Soient et des réels vérifiant la relation suivante

Alors, pour tout couple de réels vérifiant

### Exemple :

Déterminer les fonctions et solution du système

puis donner les fonctions et solutions de ce système.

On peut réécrire le système \eqref{systex2} sous la forme

On va maintenant chercher 2 intégrales premières pour le système \eqref{systex2}. La relation

\eqref{relation} permet d'écrire

où , une variable indépendante. On obtient alors

### Complément :

On tire de cette relation que

ce qui donne .

D'où la première intégrale première du système \eqref{systex2} est obtenue. D'autre part, le

système \eqref{systca} donne

Remarquons que les fonctions et ont des différentielles

proportionnelles, on a donc

Maintenant, si on veut chercher explicitement les expressions de et ; il suffit de considérer le système suivant

### EDPs quasi linéaire du premier ordre

Dans cette section, on s'intéresse à la résolution des EDPs du premier ordre. On va voir que

la résolution de ses équations se ramène à la résolution de son système caractéristique. Le

système caractéristique est un système différentiel dont lequel la solution s'exprime en utilisant

les intégrales premières. On s'intéresse à l'étude des équations linéaires en il s'agit

des EDPs quasi linéaires du $1^{er}$ ordre. Au début, on s'intéresse aux EDPs quasi linéaires du

ordre en dimension .

#### Définition :

On appelle équation aux dérivées partielles quasi-linéaire du premier ordre, d'inconnue , une équation de la forme

pour ouvert de : Les coefficients et le seconde membre sont

des fonctions données.

#### Exemple :

L'equation

est quasi-linéaire du premier ordre et de dimension 2.

### Construction de solutions

#### Définition :

En dimension 2, l'équation (2.3.1) prend la forme

#### Méthode :

En géométrie, une surface de , a pour équation Constante. Lorsqu'il existe un voisinage ou' peut être résolue en , on est ramené, à l'équation cartésienne :

On interprète la solution de \eqref{equqsi d02} comme une surface de . Analytiquement, on

cherche les solutions de \eqref{equqsi d02} sous forme implicite, il s'agit de chercher une fonction de classe

définie sur un ouvert de telle que

En appliquant le théorème des fonctions implicites, on trouve :

et , en tout point avec

On constate alors que si est solution de \eqref{equqsi d02}, alors est solution de

l'équation suivante:

#### Complément :

D'un autre coté, on a

Par identification de\eqref{Car1} et \eqref{Car2}, on obtient le système suivant

la fonction $\varphi$ est donc une intégrale première du système \eqref{SCAR}. Ce

système est appelé "système caractéristique" de l'équation aux dérivées partielles \eqref{equqsi d02}.

#### Remarque :

On convient d'écrire toujours la relation \eqref{SCAR} mémé si l'un des dénominateur est nul, dans ce cas le numérateur correspondant l'est aussi.

#### Définition : Fonctions indépendantes

On dit que deux fonctions et de classe dans un ouvert de

- sont fonctionnellement indépendantes si les seules fonctions différentiables des deux variables et qui vérifient : est constante dans sont les constantes.

- De façon analogue , et de classe dans un ouvert de sont fonctionnellement indépendantes si les seules fonctions différentiables des deux variables et qui vérifient : est constante dans sont les constantes.

#### Fondamental : Théorème 1 :

- On dit que deux fonctions et de classe dans un ouvert de sont fonctionnellement indépendantes si et seulement si : Le rang du tableau

  est deux dans .

- Trois fonctions , et sont fonctionnellement indépendantes dans si et seulement si le rang du Jacobien

  est trois dans .

#### Fondamental : Théorème 02

- Soient et deux intégrales premières indépendantes de \eqref{SCAR}, Alors toute Intégrale première de ce système s'exprime alors en fonction de et , c'est-à-dire qu'il existe de classe telle que

  .

- \ Soit une intégrale première de , toute intégrale première de ce système s'exprime en fonction de il existe tel que .

#### Méthode : Méthode pratique

1. Pour trouver une intégrale première de .

   On utilise l'égalité pour trouver et telles que

   - il existe vérifiant ,

   - .

2. On procédé de façon analogue pour résoudre on cherche et indépendante telles que :

   - Il existe vérifiant ,

   - .

#### Exemple :

Résoudre

On a .

donc est une intégrale première. Les solutions de (S) sont donc les courbes

ou' .

#### Fondamental : Théorème 03

L'ensemble des solutions de l'équation \eqref{equqsi d02} est constitué des intégrales premières du système \eqref{SCAR}. En plus, si et sont une paire des intégrales premières indépendantes,

alors la solution générale de \eqref{equqsi d02} peut être écrite explicitement comme

, où désigne une fonction arbitraire régulière de deux variables.

#### Exemple :

Considérons l'équation

Le système caractéristique est

Donc les intégrales premières sont données par

.

Les fonctions de la forme

décrivent l'ensemble des intégrales premières. On peut donc donner les solutions sous forme implicite

#### Définition :

On appelle courbes caractéristiques ( ) de l'équation aux dérivées partielles du premier

ordre \eqref{equqsi d02} les solutions de son système caractéristique \eqref{SCAR}.

#### Complément : Généralisation au cas de n dimensions

On associe le système différentiel (S) de L'EDPs \eqref{equqsi} comme suivante:

,

ou' les fonctions et le second member sont donnée.

La résolution de \eqref{equqsi d02} revient donc à chercher intégrales premières indépendantes du système (S). L'ensemble des solutions de l'équation \eqref{equqsi} est représentée par une

fonction de intégrales premières du système (S)

Navigation : Précédent | Suivant

Accueil | Imprimer | | |