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# Équations de la physique mathématique

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Contenu :

## Problème de Cauchy

et étant trois fonctions supposées de classe dans un ouvert de

, une fonction analytique définie sur une courbe régulière de donnée sous

forme paramétrique .

Soit ( ) une courbe régulière de et soit une fonction analytique sur

### Définition :

Le problème de Cauchy sur la courbe ( ), est un problème constitué de l'équation

dont on cherche une solution vérifiant :

### Fondamental : Théorème de Cauchy-Kowalewski

Si la courbe ( ) n'est pas caractéristique, alors le problème de Cauchy admet une solution

unique.

### Remarque :

Ce théorème donne un résultat local d'existence et d’unicité de la solution analytique autour de la courbe de condition initiale. Il ne donne pas à priori d'information sur la taille du domaine d'existence de la solution. De même des solutions

non-analytiques sont susceptibles de coexister

### Méthode : Méthode des caractéristiques

Un problème est bien posé si la condition limite n'est pas donnée le long d'une caractéristique. Considérons un problème de Cauchy bien posé, ou' la courbe de condition limite ( ) n'est pas une caractéristique et déterminons comment construire la courbe caractéristique qui passe par le point de ( ) correspondant à l'abscisse curviligne .

Cette courbe caractéristique ( ) de dont une représentation paramétrique est donnée par :

.

est solution de :

avec la condition initiale .

### Remarque :

D'après Théorème précédent la construction d'une solution explicite n'est pas souvent

disponible. On peut donner juste un développement sous forme d'une série entière au

voisinage de ( ). Dans le cas d'une EDP linéaire homogène, on peut trouver la solution

explicite comme dans l'exemple suivant et les exercice 6, 7 et 8

### Exemple :

On considère le problème de Cauchy suivant

1) Une courbe caractéristique associé à ( ) est une solution de son système caractéristique ( )

2) Le problème de Cauchy est posé sur la courbe (L'axe des ordonnées) :

a) Si la courbe ( ) n'est pas caractéristique, le problème ( ) admet une solution unique.

b) Si la courbe ( ) est une courbe caractéristique, le problème ( ) peut ne pas avoir de solution ou il peut en avoir une infinité.

3)On définit les caractéristiques comme des courbes données par . Les

équations qui satisfassent sont

4) Déterminons les courbes caractéristiques de ( ).

Intégrons l'équation

Ceci donne

une intégrale première. Comme l'équation est linéaire homogène, l'équation cartésienne des

courbes caractéristiques est

.

Pour tracer cette courbe, on trace la graphe des fonctions

5)Démontrons que la solution de est constante le long . Le long des caractéristiques, la solution vérifie

ce qui implique que les solutions sont constantes le long des caractéristiques.

6)Résolvons si c'est possible: Comme la courbe n'est pas caractéristique et comme

toutes les caractéristiques coupent la courbe , le problème admet une solution unique.

Soit un point du plan correspondant à . Soit la caractéristique

passant par ce point et coupe la courbe de Cauchy au avec , alors on obtient

ce qui implique que . Comme la solution est constante le long de , il

en résulte que

On obtient donc pour tout .

### Exemple :

Le problème de Cauchy suivant

n'admet pas de solution d’après le théorème d'existence et d'unicité car il es posé sur un

caractéristique.

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