Équations de la physique mathématique

Résoudre l'équation de transport (2.1) .

La solution générale de cette équation sur \(\Omega\) est \(u(x, t) = f(x -ct)\) ou'\(f\) est une fonction arbitraire de classe \(C^1 (\mathbb{R})\). La solution est trouvée en utilisant la  méthode des caractéristiques qui sera l'objet du prochain chapitre.

On veut résoudre l'équation

\(\begin{equation*}\label{enn}\displaystyle{\frac{\partial ^2 u}{\partial x^2}=0}\tag{3.1}\end{equation*}\)

D'abord, on pose \(v(x, y) = \frac{\partial u}{\partial x}\), ce qui implique pour tout \((x, y)\) que

\(\dfrac{\partial v}{\partial x}=0\).

Ceci signifie que \(v(x, y)\) est constante pour tout \(y\) fixé. Alors \(v(x, y)= C(y)\), ou' \(C\) est une fonction arbitraire de \(y\). On se ramène à trouver \(u\) telle que \(\frac{\partial u}{\partial x}= C(y)\). Un raisonnement similaire conduit à \(u(x,y)= C(y)x + D(y)\). ou' \(D\) est une fonction arbitraire.

On s'intéresse à trouver la solution générale de l'équation

\(\begin{equation*}\label{enn+}\displaystyle{\frac{\partial ^2 u}{\partial x^2}+u=0}\tag{3.2}\end{equation*}\)

On remarque que pour \(y\) fixé, l'équation \eqref{enn+} à l'aide d'un changement de variable

\(v(x) = u(x; y)\) s'écrit

\(\begin{equation*} v^{\prime\prime} +v =0.\end{equation*}\)

Il s'agit d'une EDO linéaire du second ordre dont la solution générale est donnée par

\(\begin{equation*} v(x)=A\cos(x)+B\sin(x).\end{equation*}\)

Ou' \(A\) et \(B\) sont des constantes arbitraires. Si on revient à u, on obtient

\(u(x,y)= A(y)\cos(x)+B(y)\sin(x)\), d'où la solution de \eqref{enn+}, \(A\) et \(B\) cette fois sont des fonctions arbitraires.

On s'intéresse à trouver la solution générale de l'équation

\(\begin{equation*}\label{enn2}\displaystyle\frac{\partial ^2 u}{\partial xy}=0\tag{3.3}\end{equation*}\)

Comme dans l'exemple au-dessus, on a

\(\begin{equation*}\frac{\partial u}{\partial y}=C(y) ;\end{equation*}\)

ou' \(C\) est une fonction arbitraire de \(y\), alors

\(\begin{equation*}\displaystyle u(x,y)=\int C(y)\mathrm{d}y +D(x)\end{equation*}\)

ou' \(D \) est une fonction arbitraire. Si \(C\) admet une primitive \(E,\) la solution s'écrit

\(\begin{equation*} \displaystyle u(x,y)=E(y) +D(x)\end{equation*}\)

Déterminons toutes les fonctions \(u \in C^1(\mathbb{R}^{\star}_+)\) et satisfaisant l'équation aux dérivées

partielles

\(\begin{equation*}\label{enn223}2x\frac{\partial u}{\partial x}-y\frac{\partial u}{\partial x}=0\tag{3.4}\end{equation*}\)

On peut considérer les nouvelles coordonnées: \(\xi=x\) et \(\eta =xy^2\). Il est facile de vérifier que \(\xi,\eta>0\) et \(x=\xi\) et \(y=\sqrt{\frac{\eta}{\xi}}\)

car \(x y > 0\): Par la règle de chaînes, on obtient

\(\begin{align*}\frac{\partial u}{\partial x} &=\frac{\partial u}{\partial \xi}\frac{\partial \xi}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial \eta}\frac{\partial \eta}{\partial x}\\\frac{\partial u}{\partial y} &=\frac{\partial u}{\partial \xi}\frac{\partial \xi}{\partial y}+\frac{\partial u}{\partial \eta}\frac{\partial \eta}{\partial y}\end{align*}\)