Construction d'une équation aux dérivées partielles
EDP du premier ordre (Equation de transport) :
Dans cette sous-section, on illustre la manière de dérivation de quelques EDPs citées ci-dessus en utilisant des lois physiques.
Cette équation peut être utilisée pour modéliser la pollution de l'air, la dispersion des colorants ou même le flux de trafic avec u représentant la densité du polluant (ou colorant ou trafic) à la position \(x\) et au temps \( t\). Pour une discussion du modèle physique, on considère l'exemple tiré de \cite{Walter}. Considérons un tube très étroit de longueur l conduit de l'eau à une vitesse constante c.
Supposons qu'il existe une substance chimique qui pollue de l'eau. Soit \(u(t, x)\) la concentration de la substance chimique à l'instant \(t\) et à l'abscisse \(x\).
On désigne par \(Q(t)\) la quantité de la substance chimique à l'instant \(t\).
L'expression de \(Q\) entre les points d'abscisse \(0\) et \(x\) est donnée par:
\(Q(t) =\int^{x}_{0} u(t,y)\mathrm{d}y\)
Pendant une période \(h\), une particule de la substance parcourt une distance \(ch\). La quantité \(Q\) entre les points d'abscisse \(ch\) et \(x + ch\) est la même quantité entre \(0\) et\( x\) à l'instant\( t\).
On a donc
\(Q(t) =\int^{x+ch}_{ch} u(t,y)\mathrm{d}y=\int^{x+ch}_{ch} u(t,t+ch)\mathrm{d}y\)
En dérivant par rapport à \(x\); on trouve \( u(t,y)= u(t,t+ch).\)
En dérivant cette fois-ci par rapport à \(h\) et posant \(h = 0\); on trouve
\[\begin{equation*}\label{etrans} \dfrac{\partial u}{\partial t}-c\dfrac{\partial u}{\partial y}=0\tag{2.1} \end{equation*} \]
EDP du second ordre (Corde vibrante)
Prenons une corde de longueur \(L\), qui subit des vibrations transversales relativement faibles.
Soient \(T(x; t)\) la tension dans la corde et \(\rho\) la densité (masse par unité de longueur) de la corde.
Cet exemple a été traité de manière détaillé dans [ 5[2], 8[3]]. On désigne par \(u(x; t)\) son déplacement transversal à l'instant \(t\) et à la position \(x\).
D'après la loi de Newton1 pour la partie de la corde entre deux points quelconques à x = x_0 et x = x_1. La pente de la corde en x_1 est \(\dfrac{\partial u(x_1,t)}{\partial x}\).
La loi de Newton s'écrit
\[ \displaystyle{\dfrac{T\left( \frac{\partial u(x_1,t)}{\partial x}\right)}{\sqrt{1+\left( \frac{\partial u(x_1,t)}{\partial x}\right)^2 }}\Bigg\vert_{x_0} ^{x_1} = \int_{x_0} ^{x_1} \rho\frac{\partial ^2 u}{\partial t^2} dt \left(transversale\right)} \]
Maintenant, on suppose que le mouvement est faible, alors par le développement de Taylor
\(\displaystyle{\sqrt{1+\left( \frac{\partial u(x_1,t)}{\partial x}\right)^2 } = 1 +\frac{1}{2} + \left( \frac{\partial u(x_1,t)}{\partial x}\right)^2 + \cdots\approx 1},\)
où les points représentent les puissances supérieures de \(\frac{\partial u}{\partial x}\). On a négligé les quantités faibles
et ses puissances supérieures. Supposons que T est indépendant de x, on obtient
\(\begin{equation*}\displaystyle{\frac{\partial}{\partial x} \left(T\left( \frac{\partial u}{\partial x}\right) \right) = \rho\frac{\partial ^2 u}{\partial t^2}}\end{equation*}\)
C'est
\(\displaystyle{\rho\frac{\partial ^2 u}{\partial t^2}=c \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} }\) ou' \(c= \sqrt{\frac{T}{\rho}}\).
1-Pour un corps de masse m (constante) : l'accélération \(\vec{a}\) subie par ce corps dans un référentiel galiléen est proportionnelle à la résultante des forces \(\vec{F}\) qu'il subit, et inversement proportionnelle à sa masse \(m\). Ceci est souvent traduit par l'équation :
\(\displaystyle{\sum\vec{F} =m\vec{a}}\)
La vidéo suivante explique l'utilisation de l'une des équations aux dérivées partielles les plus célèbres et comment l'extraire.