Exercice : Opérateur linéaire
Soit \(W\) un espace vectoriel de dimension finie et \( T : W \to W\) un opérateur linéaire.
Quel est l'ensemble des propriétés qu'un opérateur \(T\) doit satisfaire pour être un opérateur linéaire ?
Votre choixChoix attenduRéponse
Un opérateur \(T\) est linéaire si, pour tous les vecteurs \( \mathbf{u}, \mathbf{v} \in W\) et tous les scalaires \( c \in \mathbb{K}\), il satisfait les deux propriétés suivantes :
Linéarité de l'addition :
\(T(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = T(\mathbf{u}) + T(\mathbf{v})\) Cela signifie que l'opérateur \(T \) préserve l'addition des vecteurs.
Linéarité de la multiplication par un scalaire :
\(T(c \mathbf{u}) = c T(\mathbf{u})\).
Cela signifie que l'opérateur \(T\) respecte la multiplication des vecteurs par un scalaire
Analyse des options :
\(T(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = T(\mathbf{u}) + T(\mathbf{v})\) et \( T(c \mathbf{u}) = c T(\mathbf{u})\)
Correcte ! Cette option décrit précisément les deux propriétés fondamentales des opérateurs linéaires.
\(- T(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = T(\mathbf{u}) + T(\mathbf{v})\) correspond à la linéarité de l'addition.
-\( T(c \mathbf{u}) = c T(\mathbf{u})\) correspond à la linéarité de la multiplication par un scalaire.
\(T(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = T(\mathbf{u}) + T(\mathbf{v})\) mais \( T(c \mathbf{u}) = c T(\mathbf{u}) + 1\).
Incorrecte ! Cette option propose une forme incorrecte de la linéarité de la multiplication par un scalaire. L'ajout de \( + 1\) est incorrect, car la multiplication par un scalaire doit être strictement proportionnelle à \(T\) et ne doit pas inclure un terme constant.
\(T(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = cT(\mathbf{u}) + cT(\mathbf{v})\)
Incorrecte ! Ici, le terme \( cT(\mathbf{u}) + cT(\mathbf{v})\) n'est pas correct. La propriété de linéarité de l'addition est bien \( T(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = T(\mathbf{u}) + T(\mathbf{v})\) , et non avec le facteur \( c\) devant chaque terme.
\(T(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = T(\mathbf{u}) + T(\mathbf{v})\) et \( T(c \mathbf{u}) = T(\mathbf{u})\)
Incorrecte ! Cette option fait une erreur en indiquant que \( T(c \mathbf{u}) = T(\mathbf{u})\) .
Cela n'est vrai que dans des cas très spécifiques (par exemple, si \( T\) est une fonction constante), mais pour un opérateur linéaire général, cela doit être \( T(c \mathbf{u}) = c T(\mathbf{u})\) .