Soit la surface \(S\) définie par l'équation :

\(x^2 + y^2 + z^2 = 9\) et on considère le vecteur \(\mathbf{V} = (-1, 2, 0).\)

### Question

Montrez que le vecteur gradient de la fonction \( f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2\) est normal à la surface \(S\) .

#### Indice

Rappelez-vous que le vecteur normal à une surface \( f(x, y, z) = c\) est le gradient \( \nabla f(x, y, z)\) .

#### Solution

##### Vecteur gradient normal à la surface

On considère \(f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2\) .

Le gradient est donné par :

\(\nabla f(x, y, z) = \begin{pmatrix}\dfrac{\partial f}{\partial x} \\\dfrac{\partial f}{\partial y} \\\dfrac{\partial f}{\partial z}\end{pmatrix}\)

\(= \begin{pmatrix}2x \\2y \\2z\end{pmatrix}\)

Donc, pour tout point \((x, y, z)\) , le vecteur \( \begin{pmatrix} 2x \\ 2y \\ 2z \end{pmatrix}\) est normal à la surface \( x^2 + y^2 + z^2 = 9\) .

### Question

Calculez le vecteur normal à \(S\) au point \( (2, 1, 2)\)

#### Indice

Remplacez \(x = 2 , y = 1\) , et \(z = 2\) dans le vecteur gradient pour obtenir le vecteur normal au point \((2, 1, 2)\) .

#### Solution

##### Vecteur normal au point (2, 1, 2)

On remplace \(x = 2\) , \(y = 1\) ,\( z = 2\) :

\(\nabla f(2, 1, 2) = \begin{pmatrix}2 \times 2 \\2 \times 1 \\2 \times 2\end{pmatrix}\)

\(= \begin{pmatrix}4 \\2 \\4\end{pmatrix}\)

Donc, le vecteur normal est \(\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}\) .

### Question

Déterminez un vecteur unitaire normal à la surface en ce point.

#### Indice

Divisez le vecteur normal trouvé par sa norme pour obtenir un vecteur unitaire. La norme est donnée par \( \| \mathbf{n} \| = \sqrt{n_x^2 + n_y^2 + n_z^2}\) .

#### Solution

##### Vecteur unitaire normal

Calculons la norme :

\(\| \mathbf{n} \| = \sqrt{4^2 + 2^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 4 + 16} = \sqrt{36} = 6\)

Le vecteur unitaire est :

\(\mathbf{n}_{\text{unitaire}} = \frac{1}{6} \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \dfrac{2}{3} \\ \dfrac{1}{3} \\ \dfrac{2}{3} \end{pmatrix}\)

### Question

Concluez que \(\mathbf{V} = (-1, 2, 0)\) appartient au plan tangent à la surface au point \((2,1,2)\) .

#### Solution

##### Conclusion :

Le vecteur \(\mathbf{V} = (-1, 2, 0)\) est orthogonal au vecteur gradient \nabla \(f(2,1,2) = (4, 2, 4)\) , car leur produit scalaire est nul :

\((-1 \times 4) + (2 \times 2) + (0 \times 4) = -4 + 4 + 0 = 0\)

Donc, \( \mathbf{V}\) est orthogonal à la normale à la surface en ce point.

Or, le plan tangent en un point est défini comme l'ensemble des vecteurs orthogonaux au gradient (c'est-à-dire orthogonaux à la normale).

Ainsi, le vecteur \(\mathbf{V}\) appartient bien au plan tangent à la surface au point \( (2,1,2)\) .