## Construction d'une équation aux dérivées partielles

### EDP du premier ordre (Equation de transport) :

Dans cette sous-section, on illustre la manière de dérivation de quelques EDPs citées ci-dessus en utilisant des lois physiques.

Cette équation peut être utilisée pour modéliser la pollution de l'air, la dispersion des colorants ou même le flux de trafic avec u représentant la densité du polluant (ou colorant ou trafic) à la position \(x\) et au temps \( t\). Pour une discussion du modèle physique, on considère l'exemple tiré de \cite{Walter}. Considérons un tube très étroit de longueur l conduit de l'eau à une vitesse constante c.

Supposons qu'il existe une substance chimique qui pollue de l'eau. Soit \(u(t, x)\) la concentration de la substance chimique à l'instant \(t\) et à l'abscisse \(x\).

Schema de Transport d'un polluant dans l'eau | Informations[1]

On désigne par \(Q(t)\) la quantité de la substance chimique à l'instant \(t\).

L'expression de \(Q\) entre les points d'abscisse \(0\) et \(x\) est donnée par:

\(Q(t) =\int^{x}_{0} u(t,y)\mathrm{d}y\)

Pendant une période \(h\), une particule de la substance parcourt une distance \(ch\). La quantité \(Q\) entre les points d'abscisse \(ch\) et \(x + ch\) est la même quantité entre \(0\) et\( x\) à l'instant\( t\).

On a donc

\(Q(t) =\int^{x+ch}_{ch} u(t,y)\mathrm{d}y=\int^{x+ch}_{ch} u(t,t+ch)\mathrm{d}y\)

En dérivant par rapport à \(x\); on trouve \( u(t,y)= u(t,t+ch).\)

En dérivant cette fois-ci par rapport à \(h\) et posant \(h = 0\); on trouve

\[\begin{equation*}\label{etrans} \dfrac{\partial u}{\partial t}-c\dfrac{\partial u}{\partial y}=0\tag{2.1} \end{equation*} \]

### EDP du second ordre (Corde vibrante)

Prenons une corde de longueur \(L\), qui subit des vibrations transversales relativement faibles.

Soient \(T(x; t)\) la tension dans la corde et \(\rho\) la densité (masse par unité de longueur) de la corde.

Cet exemple a été traité de manière détaillé dans [ 5[2], 8[3]]. On désigne par \(u(x; t)\) son déplacement transversal à l'instant \(t\) et à la position \(x\).

D'après la loi de Newton1 pour la partie de la corde entre deux points quelconques à x = x_0 et x = x_1. La pente de la corde en x_1 est \(\dfrac{\partial u(x_1,t)}{\partial x}\).

La loi de Newton s'écrit

\[ \displaystyle{\dfrac{T\left( \frac{\partial u(x_1,t)}{\partial x}\right)}{\sqrt{1+\left( \frac{\partial u(x_1,t)}{\partial x}\right)^2 }}\Bigg\vert_{x_0} ^{x_1} = \int_{x_0} ^{x_1} \rho\frac{\partial ^2 u}{\partial t^2} dt \left(transversale\right)} \]

Maintenant, on suppose que le mouvement est faible, alors par le développement de Taylor

\(\displaystyle{\sqrt{1+\left( \frac{\partial u(x_1,t)}{\partial x}\right)^2 } = 1 +\frac{1}{2} + \left( \frac{\partial u(x_1,t)}{\partial x}\right)^2 + \cdots\approx 1},\)

où les points représentent les puissances supérieures de \(\frac{\partial u}{\partial x}\). On a négligé les quantités faibles

et ses puissances supérieures. Supposons que T est indépendant de x, on obtient

\(\begin{equation*}\displaystyle{\frac{\partial}{\partial x} \left(T\left( \frac{\partial u}{\partial x}\right) \right) = \rho\frac{\partial ^2 u}{\partial t^2}}\end{equation*}\)

C'est

\(\displaystyle{\rho\frac{\partial ^2 u}{\partial t^2}=c \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} }\) ou' \(c= \sqrt{\frac{T}{\rho}}\).

> 1-Pour un corps de masse m (constante) : l'accélération \(\vec{a}\) subie par ce corps dans un référentiel galiléen est proportionnelle à la résultante des forces \(\vec{F}\) qu'il subit, et inversement proportionnelle à sa masse \(m\). Ceci est souvent traduit par l'équation :

> \(\displaystyle{\sum\vec{F} =m\vec{a}}\)

La vidéo suivante explique l'utilisation de l'une des équations aux dérivées partielles les plus célèbres et comment l'extraire.

La construction de l'équation de la chaleur
Deuxième vidéo qui explique l'utilisation des EDP fondamentaux

## Notes

1. |
2. 5

   Pinchover, Rubenstein J. An Introduction to Partial Di erential Equations. Cambridge University Press, 2005.

3. 8

   Walter A. Strauss. Partial Di erential Equations: An Introduction. Wiley, 1992