## Exercice : Opérateur linéaire

Soit \(W\) un espace vectoriel de dimension finie et \( T : W \to W\) un opérateur linéaire.

Quel est l'ensemble des propriétés qu'un opérateur \(T\) doit satisfaire pour être un opérateur linéaire ?

### Votre choix Choix attendu Réponse

- \(T(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = T(\mathbf{u}) + T(\mathbf{v})\) et \( T(c \mathbf{u}) = c T(\mathbf{u})\) pour tous \( \mathbf{u}, \mathbf{v} \in W\) et \(c \in \mathbb{K}\) .

- \( T(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = T(\mathbf{u}) + T(\mathbf{v})\) mais \( T(c \mathbf{u}) = c T(\mathbf{u}) + 1\) pour tous \( \mathbf{u}, \mathbf{v} \in W\) et \( c \in \mathbb{K}\) .

- \(T(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = cT(\mathbf{u}) + cT(\mathbf{v})\) pour tous \( \mathbf{u}, \mathbf{v} \in W\) et \( c \in \mathbb{K}\) .

- \(T(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = T(\mathbf{u}) + T(\mathbf{v})\) et \( T(c \mathbf{u}) = T(\mathbf{u})\) pour tous \( \mathbf{u}, \mathbf{v} \in W\) et \( c \in \mathbb{K}\) .

- Un opérateur \(T\) est linéaire si, pour tous les vecteurs \( \mathbf{u}, \mathbf{v} \in W\) et tous les scalaires \( c \in \mathbb{K}\), il satisfait les deux propriétés suivantes :

1. Linéarité de l'addition :

   \(T(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = T(\mathbf{u}) + T(\mathbf{v})\) Cela signifie que l'opérateur \(T \) préserve l'addition des vecteurs.

2. Linéarité de la multiplication par un scalaire :

   \(T(c \mathbf{u}) = c T(\mathbf{u})\).

   Cela signifie que l'opérateur \(T\) respecte la multiplication des vecteurs par un scalaire

- Analyse des options :

  1. \(T(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = T(\mathbf{u}) + T(\mathbf{v})\) et \( T(c \mathbf{u}) = c T(\mathbf{u})\)

     Correcte ! Cette option décrit précisément les deux propriétés fondamentales des opérateurs linéaires.

     \(- T(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = T(\mathbf{u}) + T(\mathbf{v})\) correspond à la linéarité de l'addition.

     -\( T(c \mathbf{u}) = c T(\mathbf{u})\) correspond à la linéarité de la multiplication par un scalaire.

  2. \(T(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = T(\mathbf{u}) + T(\mathbf{v})\) mais \( T(c \mathbf{u}) = c T(\mathbf{u}) + 1\).

     Incorrecte ! Cette option propose une forme incorrecte de la linéarité de la multiplication par un scalaire. L'ajout de \( + 1\) est incorrect, car la multiplication par un scalaire doit être strictement proportionnelle à \(T\) et ne doit pas inclure un terme constant.

  3. \(T(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = cT(\mathbf{u}) + cT(\mathbf{v})\)

     Incorrecte ! Ici, le terme \( cT(\mathbf{u}) + cT(\mathbf{v})\) n'est pas correct. La propriété de linéarité de l'addition est bien \( T(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = T(\mathbf{u}) + T(\mathbf{v})\) , et non avec le facteur \( c\) devant chaque terme.

  4. \(T(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = T(\mathbf{u}) + T(\mathbf{v})\) et \( T(c \mathbf{u}) = T(\mathbf{u})\)

     Incorrecte ! Cette option fait une erreur en indiquant que \( T(c \mathbf{u}) = T(\mathbf{u})\) .

     Cela n'est vrai que dans des cas très spécifiques (par exemple, si \( T\) est une fonction constante), mais pour un opérateur linéaire général, cela doit être \( T(c \mathbf{u}) = c T(\mathbf{u})\) .

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