## Travaux dirigés (TD)

### 01

1. Monter que pour tout fonction \(f\in C^1(\mathbb{R})\) , \(u(x,t) =f(x-ct)\) est solution de L'EDP

   \(\dfrac{\partial u}{\partial x}+c\dfrac{\partial u}{\partial y}=0.\)

2. Trouver la solution qui satisfait la condition suivante: \(u(0,t) =t^2\).

3. Trouver la solution qui satisfait la condition suivante: \(u(0,t) =g(t)\) telle que \(f\in C^1(\mathbb{R})\).

### 02

Soit \(u(x,t)\) une fonction de deux variables. Considérons les nouvelles variables suivant \((r,\theta)\) définies par les équations suivantes:

\(\begin{equation*}\begin{cases}r=\sqrt{x^2} +y^2 \\\theta = \arctan\left(\frac{y}{x}\right)\end{cases}\end{equation*}\)

Noter que dans ce cas :

On a aussi

\(\begin{equation*}\begin{cases}x=r\cos(\theta) \\y=r\sin(\theta)\end{cases}\end{equation*}\)

Montre en utilisant la régle de chaines les formules suivantes:

1. \(\dfrac{\partial u}{\partial x}=\cos(\theta)\dfrac{\partial u}{\partial r} - \frac{\sin(\theta)}{r}\dfrac{\partial u}{\partial \theta}\);

2. \(\dfrac{\partial u}{\partial y}=\sin(\theta)\dfrac{\partial u}{\partial r} - \frac{\cos(\theta)}{r}\dfrac{\partial u}{\partial \theta}\);

3. \(\dfrac{\partial ^2 u}{\partial x^2} +\dfrac{\partial ^2 u}{\partial y^2}=\dfrac{\partial ^2 u}{\partial r^2} +\frac{1}{r^2}\dfrac{\partial ^2 u}{\partial \theta^2}+ \frac{1}{r}\dfrac{\partial u}{\partial r}\)

### 03

Soit L'EDP suivant

\(\begin{equation}\label{eq1}(x^2+1)\dfrac{\partial u}{\partial x} \,+ 2xy\dfrac{\partial u}{\partial y}=0 \tag{4.1}\end{equation}\)

Déterminer toutes les solutions de \eqref{eq1} de classe \(C^1(\mathbb{R}^2)\) en utilisant les nouvelles coordonnées \( \xi =x\) et \(\eta = \frac{y}{x^2 +1}\)

### 04

1. Déterminer la solution général de

   \(\begin{equation}\dfrac{\partial ^2 u}{\partial x^2} \,-\dfrac{\partial^2 u}{\partial y^2}\tag{4.4}=0,\end{equation}\)

   en utilisant les nouvelles coordonnées \(\xi=x+y\) et \(\eta = x-y\).

2. Résoudre l'équation :\(\begin{equation}\begin{cases}\dfrac{\partial u}{\partial t} \,+ xt \dfrac{\partial u}{\partial x}=x^2,\\u(x,0)=\phi(x)\end{cases}\tag{4.5}\end{equation}\)

### 05

Résoudre le problème à valeur initiale suivant

\(\begin{equation}\begin{cases}\dfrac{\partial u}{\partial t} \,+ e^x \dfrac{\partial u}{\partial x}=0,\\u(x,0)=x\end{cases}\tag{4.6},\end{equation}\)

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