## Concepts préliminaires et notions fondamentaux

L'exemple le plus simple d'équation différentielle se présente lorsque la fonction \(u\) dépend uniquement d'une seule variable \(x\).

Dans ce cas, la relation entre u et ses dérivées est décrite par une équation différentielle ordinaire (EDO[1] ).

### Définition :

Une EDO est une relation du type

\[\begin{equation*}\label{edo} F\left( x,u(x),u^\prime(x),u^{\prime\prime}(x),\cdots,u^n(x)\right)=0\tag{1.1} \end{equation*}\]

entre la variable \(x \in \mathbb{R}\) (parfois \(x \in I \subset \mathbb{R}\) ) et les dérivées de la fonction inconnue \(u\)

point x telle que

\(\begin{align*}F \colon \mathbb{R}^{n+2}&\longrightarrow \mathbb{R}\\(x,y)&\longmapsto F(x,y),\end{align*}\)

avec \(y=(y_0,y_1,\cdots,y_n)\in \mathbb{R}^{n+1}\).

### Exemple :

Le mouvement d'un objet sur une droite peut \^etre décrit par l'équation:

\(u^2(x) = g(u(x))\)

La variable x correspond au temps et la fonction u correspond à la position de l'objet.

Dans ce cas \(x \in I \subset \mathbb{R}\) et

\(\begin{align*}F \colon \mathbb{R}^{4}&\longrightarrow \mathbb{R}\\(x,y)&\longmapsto F(x,y)=y_2-g(y_0),\end{align*}\)

avec \(y=(y_0,y_1,y_2)\in \mathbb{R}^3\).

### Définition :

Une équation aux dérivées partielles est une équation mathématique contenant en plus de la variable dépendante \(u\) est les variables indépendantes \((x_1,x_2,\cdots )\) une ou plusieurs dérivées partielles. Cette équation est ainsi de la forme :

\[\begin{equation*}\label{Gedp} \displaystyle{F\left( x_1,x_2, \cdots, x_n,u,\partial_{x_1}u,\partial_{x_2}u,\cdots,\partial^2 _{x_1^2}u,\partial^2 _{x_2 ^2}u,\partial^2 _{x_1 x_2} u,\cdots\right)=0}\tag{1.2} \end{equation*} \]

### Complément :

Ou' \(F\) est une fonction de plusieurs variables, \(\partial_{x_j} u\)$

désigne la dérivée partielle par rapport à \(x_j\) (\(\partial_{x_j}=\frac{\partial u}{\partial x_j}\), \(j=1,\cdot,n\)).

Si \(n\) est le nombre de variables indépendantes, alors nous

considérons le \(n\)-tuplet de variable indépendante \((x_1,x_2,\cdots )\) comme appartenant à un domaine \(D\) convenable (\(\Omega\)) de \(\mathbb{R}^n\).

### Fondamental : Dimension, degré et ordre d'une EDP

L'ordre d'une EDP: est le plus grand ordre de dérivation qui apparait dans l'équation

\eqref{Gedp}.

La dimension d'une EDP est: le nombre de variables indépendantes dont dépend la

fonction inconnue \(u\).

Le degré d'une EDP est: le degré de la dérivée d'ordre le plus élevé

qui apparaît dans celle-ci après que l'équation a été rationalisée.

### Exemple :

- \(\frac{\partial u}{\partial x} +\frac{\partial u}{\partial y}=u+xy\) (EDP de \(1^{er}\) order , \(1^{er}\) degré et 2 demonsion).

- \(\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)^2 +\frac{\partial^3 u}{\partial y^3}=2x\frac{\partial u}{\partial x}\) (EDP de \(3^{ém}\) order , 1\(^{er}\) degré et 2 demonsion).

- \(\frac{\partial u}{\partial x} +\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial u}{\partial z}=xyz\) (EDP de \(1^{er}\) order , \(1^{er}\) degré et 3 demonsion).

- \(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}=\left(1+ \frac{\partial u}{\partial y} \right)^{\frac{1}{2}}\)(\(2^{nd}\) order, \(2^{nd}\) degree PDE and tow dimonsion).

### Définition :

Une EDP (Equation différentielle aux dérivées partielles) d'ordre 1 ou du premier ordre d'inconnue \(u\) de \(n\) variables indépendantes\( x_1,x_2\cdots, x_n\) est une équation de la forme:

\[\begin{equation*}\label{1eredp} F\left( x_1,x_2\cdots, x_n,u,\partial_{x_1} u,\partial_{x_2} u,\cdots,\partial_{x_n} u\right)=0\tag{1.3} \end{equation*} \]

Ou' \((x_1,\cdots,x_n) \in \Omega\subset \mathbb{R}^n\)

### Complément :

La forme générale d'une EDP d'ordre 2 et de dimension 2 est:

\[\begin{equation*}\label{2eredp} F\left( x_1,x_2,u,\partial_{x_1} u,\partial_{x_2} u,\partial^2_{x_1^2} u,\partial^2_{x_2^2} u, \partial^2_{x_1 x_2},\partial^2_{x_2 x_1} u \right)=0\tag{1.4} \end{equation*} \]

Ou' \((x_1,x_2) \in \Omega\subset \mathbb{R}^2\)

### Linéarité et homogénéité

La notion de la linéarité pour les EDPs fait intervenir des opérateurs différentiels. Un opérateur différentiel est un opérateur construit à partir des dérivées partielles des fonctions diférentiables.i.e un opérateur L désignera une transformation qui associée à toute fonction

\(u = u (x,y,\cdots )\) de plusieurs variables les \(x,y,\cdots\) sur un domaine \(D\) ; une fonction \( \mathcal{L}u= \mathcal{L}u (x,y,\cdots )\).

### Définition :

Une EDP d'une inconnue u est dite linéaire si l'on peut la mettre sous la forme

\[\begin{equation}\label{lin} \mathcal{L}u = f (x,y,\cdots )\tag{1.5} \end{equation} \]

ou'

\(\mathcal{L}\) est un opérateur linéaire différentiel,

\(f\) est une fonction de n variables indépendantes définie sur un domaine de \(\mathbb{R}^n\).

Si \(f \equiv 0\), on dit que l'équation est linéaire homogène. Sinon elle est non-homogène.

Une EDP est dite linéaire si la variable dépendante et ses dérivées partielles n'apparaissent que dans le premier degré et ne sont pas multipliées, sinon elle est dite non linéaire.

### Exemple :

L'équation

\[\begin{equation} u +y\frac{\partial ^2 u}{\partial y^2} +2yx\frac{\partial ^2 u}{\partial x^2}=1\tag{1.6} \end{equation} \]

est linéaire non-homogène sur \(\mathbb{R}^2\) car elle peut s'écrire sous la forme \eqref{lin} ou'

\(\begin{equation*}\mathcal{L}u=u +y\frac{\partial ^2 u}{\partial y^2} +2yx\frac{\partial ^2 u}{\partial x^2}\end{equation*}\)

est un opérateur linéaire diférentiel et \(f(x, y) = 1\).

### Exemple :

L'équation

\[\begin{equation*} \left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)\left(\frac{\partial ^2 u}{\partial x^2}\right) +xu\left(\frac{\partial u}{\partial y}\right) =\sin(y)\tag{1.7} \end{equation*} \]

n'est pas linéaire ne homogène sur \(\mathbb{R}^2\) car elle peut s'écrire sous la forme \eqref{lin} ou'

\(\begin{equation*}\mathcal{L}u=\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)\left(\frac{\partial ^2 u}{\partial x^2}\right) +xu\left(\frac{\partial u}{\partial y}\right)\end{equation*}\)

et \(f(x, y) = \sin(y)\). Pour vérifier cela, il suffit de prendre \(a = b = 1\) et

\(u_1(x, y) = u_2(x, y) = x^2\): On obtient

\(\mathcal{L}\left( a u_1(x, y) +b u_2(x, y)\right)=16x\) et \(a\mathcal{L} u_1(x, y) +b \mathcal{L}u_2(x, y)=4x\) et clairement \(\mathcal{L}\left( a u_1(x, y) +b u_2(x, y)\right)\neq a\mathcal{L} u_1(x, y) +b \mathcal{L}u_2(x, y)\).

### Quelques équations de la physique mathématique

1. Équation de transport \(\quad\dfrac{\partial u}{\partial t}-c\dfrac{\partial u}{\partial y}=0\) ou' \(u(x, t)\); est utilisée pour modéliser la pollution de l'air, la dispersion des colorants ou même le flux de trafic.

2. Équation de Burgers \(\quad\dfrac{\partial u}{\partial t}-u\dfrac{\partial u}{\partial y}=0\) ou' \(u(x, t)\);est issue de l'étude de la dynamique des gaz.

3. Équation des ondes \(\quad\dfrac{\partial ^2 u}{\partial t^2}=c^2\Delta u\),ou' \(u(x, y, z, t)\) est utilisé pour modéliser de petites oscillations, elle joue un grand rôle dans la dynamique des fluides et dans l'électromagnétisme.

4. Équation de la chaleur \(\quad\dfrac{\partial u}{\partial t}=k\Delta u\),ou' \(u(x, y, z, t)\) est utilisée dans l'étude de la conduction thermique.

5. Équation de Laplace ou du potentiel \(\quad\Delta u=0\), ou' \(u(x, y, z, t)\), apparaît notamment dans: astronomie, électrostatique, mécanique des fluides et la mécanique quantique.

6. Équation d'Euler-Bernoulli \(\quad\dfrac{\partial ^2 u}{\partial t^2}=\dfrac{\partial ^4 u}{\partial t^4}\), \(u(x, t)\) utilisée dans la théorie des poutres.

## Notes

1. EDO : Équation différentielle ordinaire