## Résolution de quelque des équation aux dérivées partielles

Résoudre une EDP dans un domaine\( \Omega\) de \(\mathbb{R}^n\), c'est trouver une fonction suffisamment différentiable dans \(\Omega\), telle que la relation (1.2) soit satisfaite pour toutes les valeurs des variables dans \(\Omega\).

Si les différentes solutions d'une EDP s'écrivent sous la même forme, cette forme est appelée solution générale de l'équation. Comme la solution générale d'une EDO implique des constantes arbitraires, la solution générale d'une EDP implique des fonctions arbitraires

### Exemple : Résolution des EDP simples

Résoudre l'équation de transport (2.1) .

La solution générale de cette équation sur \(\Omega\) est \(u(x, t) = f(x -ct)\) ou'\(f\) est une fonction arbitraire de classe \(C^1 (\mathbb{R})\). La solution est trouvée en utilisant la méthode des caractéristiques qui sera l'objet du prochain chapitre.

### Exemple : Résolution des EDP simples

On veut résoudre l'équation

\(\begin{equation*}\label{enn}\displaystyle{\frac{\partial ^2 u}{\partial x^2}=0}\tag{3.1}\end{equation*}\)

D'abord, on pose \(v(x, y) = \frac{\partial u}{\partial x}\), ce qui implique pour tout \((x, y)\) que

\(\dfrac{\partial v}{\partial x}=0\).

Ceci signifie que \(v(x, y)\) est constante pour tout \(y\) fixé. Alors \(v(x, y)= C(y)\), ou' \(C\) est une fonction arbitraire de \(y\). On se ramène à trouver \(u\) telle que \(\frac{\partial u}{\partial x}= C(y)\). Un raisonnement similaire conduit à \(u(x,y)= C(y)x + D(y)\). ou' \(D\) est une fonction arbitraire.

### Exemple : Résolution des EDP simples

On s'intéresse à trouver la solution générale de l'équation

\(\begin{equation*}\label{enn+}\displaystyle{\frac{\partial ^2 u}{\partial x^2}+u=0}\tag{3.2}\end{equation*}\)

On remarque que pour \(y\) fixé, l'équation \eqref{enn+} à l'aide d'un changement de variable

\(v(x) = u(x; y)\) s'écrit

\(\begin{equation*} v^{\prime\prime} +v =0.\end{equation*}\)

Il s'agit d'une EDO linéaire du second ordre dont la solution générale est donnée par

\(\begin{equation*} v(x)=A\cos(x)+B\sin(x).\end{equation*}\)

Ou' \(A\) et \(B\) sont des constantes arbitraires. Si on revient à u, on obtient

\(u(x,y)= A(y)\cos(x)+B(y)\sin(x)\), d'où la solution de \eqref{enn+}, \(A\) et \(B\) cette fois sont des fonctions arbitraires.

### Exemple : Résolution des EDP simples

On s'intéresse à trouver la solution générale de l'équation

\(\begin{equation*}\label{enn2}\displaystyle\frac{\partial ^2 u}{\partial xy}=0\tag{3.3}\end{equation*}\)

Comme dans l'exemple au-dessus, on a

\(\begin{equation*}\frac{\partial u}{\partial y}=C(y) ;\end{equation*}\)

ou' \(C\) est une fonction arbitraire de \(y\), alors

\(\begin{equation*}\displaystyle u(x,y)=\int C(y)\mathrm{d}y +D(x)\end{equation*}\)

ou' \(D \) est une fonction arbitraire. Si \(C\) admet une primitive \(E,\) la solution s'écrit

\(\begin{equation*} \displaystyle u(x,y)=E(y) +D(x)\end{equation*}\)

### Méthode : Méthode du changement de variables

Une EDP peut être transformée parfois à une forme plus simple avec une solution connue par un changement de variables approprié. Cette section discute la manière de cette transformation.

### Exemple :

Déterminons toutes les fonctions \(u \in C^1(\mathbb{R}^{\star}_+)\) et satisfaisant l'équation aux dérivées

partielles

\(\begin{equation*}\label{enn223}2x\frac{\partial u}{\partial x}-y\frac{\partial u}{\partial x}=0\tag{3.4}\end{equation*}\)

On peut considérer les nouvelles coordonnées: \(\xi=x\) et \(\eta =xy^2\). Il est facile de vérifier que \(\xi,\eta>0\) et \(x=\xi\) et \(y=\sqrt{\frac{\eta}{\xi}}\)

car \(x y > 0\): Par la règle de chaînes, on obtient

\(\begin{align*}\frac{\partial u}{\partial x} &=\frac{\partial u}{\partial \xi}\frac{\partial \xi}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial \eta}\frac{\partial \eta}{\partial x}\\\frac{\partial u}{\partial y} &=\frac{\partial u}{\partial \xi}\frac{\partial \xi}{\partial y}+\frac{\partial u}{\partial \eta}\frac{\partial \eta}{\partial y}\end{align*}\)

### Complément :

Ici il faut noter que les dérivées partielles \(\frac{\partial u}{\partial \xi}\) et \(\frac{\partial u}{\partial \eta}\) sont continues. En remplaçant \(x, y\),

\(\frac{\partial u}{\partial x}\) et \(\frac{\partial u}{\partial y}\) par leurs expressions correspondantes en fonction de \(\xi\) et \(\eta\) dans \eqref{enn223}, on obtient

\(\begin{equation*}\xi\frac{\partial u}{\partial \xi}=0\tag{3.5}\end{equation*}\)

Comme \(\xi\) est strictement positive, on obtient \(\frac{\partial u}{\partial \xi}=0\) i.e \(u = h(\eta)\), \(h : (0,\infty)\rightarrow \mathbb{R}\)

arbitraire et dérivable.

Alors \(u = h(xy^2)\) est la solution de \eqref{enn223}.